Question

In fig 4.44 chord AB = chord CD, seg AB $\perp$ seg CD. Points M and N are midpoints of chord AB and chord CD respectively prove that $\square$MONE is a square.

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{Given}:\mathrm{M}\mathrm{and}\mathrm{N}\mathrm{are}\mathrm{the}\mathrm{mid}\mathrm{points}\mathrm{of}\mathrm{AB}\mathrm{and}\mathrm{CD},\mathrm{respectively}. \\ We\mathrm{know}\mathrm{that}\mathrm{perpendicular}\mathrm{from}\mathrm{the}\mathrm{centre}\mathrm{on}a\mathrm{chord}\mathrm{divides}\mathrm{the}\mathrm{chord}. \\ \mathrm{So}, \\ \angle \mathrm{OME}=90°\mathrm{and}\angle \mathrm{ONE}=90° \\ \angle \mathrm{MEN}=90°\left(\mathrm{given}\right) \\ \mathrm{Therefore},\text{the}\mathrm{fourth}\mathrm{angle}\mathrm{will}\mathrm{also}\mathrm{be}90°. \\ \mathrm{As}\mathrm{al}\text{l the}\mathrm{angles}\mathrm{are}90°,\mathrm{MONE}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{rectangle}. \\ \mathrm{And}\mathrm{so}\mathrm{its}\mathrm{opposite}\mathrm{sides}\mathrm{are}\mathrm{equal}. \\ \therefore \mathrm{OM}=\mathrm{NE}\mathrm{and}\mathrm{ON}\hspace{0.17em}=\mathrm{ME}---\left(1\right) \\ \mathrm{Again},\mathrm{given}:c\mathrm{hord}\mathrm{AB}=\mathrm{chord}\mathrm{CD} \\ We\mathrm{know}\mathrm{that}\mathrm{equal}\mathrm{chords}\mathrm{are}\mathrm{equidistant}\mathrm{from}\mathrm{the}\mathrm{c}\mathrm{entre}. \\ \therefore \mathrm{OM}=\mathrm{ON}-----\left(2\right) \\ \mathrm{From}\left(1\right)\mathrm{and}\left(2\right), \\ \text{w}e\mathrm{can}\mathrm{say}\mathrm{that}\mathrm{all}\text{the}\mathrm{sides}\mathrm{of}\mathrm{quadrilateral}\mathrm{MONE}\mathrm{are}\mathrm{equal}\mathrm{and}\mathrm{we}\mathrm{have}\mathrm{already}\mathrm{proved}\mathrm{that}\mathrm{all}\text{the}\mathrm{angles}\mathrm{are}90°. \\ \mathrm{Therefore},\mathrm{quadrilateral}\mathrm{MONE}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{square}. \end{gathered}$$