Question

In figure 5.54 seg PD is the median of $△$PQR. Point G is the mid-point of seg PD
Show that $\frac{PM}{PR}=\frac{1}{3}$

Answer 1

Given:
D is the mid point of QR.
G is the midpoint of PD.

$$\begin{gathered} \mathrm{Let}\mathrm{us}\mathrm{assume}\mathrm{that}\mathrm{DN}\parallel \mathrm{QM} \\ \mathrm{Consider}△\mathrm{PDN} \\ \mathrm{G}\mathrm{is}\mathrm{the}\mathrm{midpoint}\mathrm{of}\mathrm{PD}\left(\mathrm{Given}\right) \\ \mathrm{And}, \\ \mathrm{GM}\hspace{0.17em}\parallel \mathrm{DN} \\ \mathrm{Therefore},\mathrm{M}\mathrm{is}\mathrm{the}\mathrm{midpoint}\mathrm{of}\mathrm{PN}(\mathrm{By}\mathrm{converse}\mathrm{of}\mathrm{midpoint}\mathrm{theorem}) \\ \mathrm{Now},\mathrm{consider}△\mathrm{RQM} \\ \mathrm{D}\mathrm{is}\mathrm{the}\mathrm{midpoint}\mathrm{of}\mathrm{QR}(\mathrm{PD}\mathrm{is}\mathrm{the}\mathrm{median}) \\ \mathrm{And}, \\ \mathrm{DN}\parallel \mathrm{QM} \\ \mathrm{Therefore},\mathrm{N}\mathrm{is}\mathrm{the}\mathrm{midpoint}\mathrm{of}\mathrm{MR}(\mathrm{By}\mathrm{converse}\mathrm{of}\mathrm{midpoint}\mathrm{theorem}) \\ \mathrm{Thus},\mathrm{M}\mathrm{and}\mathrm{N}\mathrm{divides}\mathrm{PR}\mathrm{into}\mathrm{three}\mathrm{equal}\mathrm{parts}. \\ \therefore 3\mathrm{PM}=\mathrm{PR} \\ \mathrm{or}, \\ \frac{\mathrm{PM}}{\mathrm{PR}}=\frac{1}{3} \end{gathered}$$