Question

In figure 5.55 $\square$PQRS is a parallelogram, in which A is mid-point of side SR and point B is a point on diagonal PR. such that RB = $\frac{1}{4}$PR. Also, AB when produced meets QR at C. Prove that, point C is mid-point of side QR.

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{Given}: \\ \square \mathrm{PQRS}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{parallelogram}. \\ \mathrm{A}\mathrm{is}\mathrm{the}\mathrm{midpoint}\mathrm{of}\mathrm{SR}. \\ \mathrm{RB}=\frac{1}{4}\mathrm{PR}...\left(\mathrm{i}\right) \\ \mathrm{We}\mathrm{know}\mathrm{that}\mathrm{the}\mathrm{diagonals}\mathrm{of}\mathrm{a}\mathrm{parallelogram}\mathrm{are}\mathrm{equal}\mathrm{and}\mathrm{bisect}\mathrm{each}\mathrm{other}. \\ \therefore \mathrm{RO}=\mathrm{OP} \\ \Rightarrow \mathrm{PR}=2\mathrm{OR} \\ \mathrm{So},\mathrm{RB}=\frac{1}{4}\times 2\mathrm{OR} \\ \mathrm{or},\mathrm{RB}=\frac{1}{2}\mathrm{RO} \\ \mathrm{Consider}△\mathrm{RSO}, \\ \mathrm{B}\mathrm{is}\mathrm{mid}\mathrm{point}\mathrm{of}\mathrm{RO} \\ \mathrm{A}\mathrm{is}\mathrm{mid}\mathrm{point}\mathrm{of}\mathrm{SR} \\ \mathrm{AB}\parallel \mathrm{SO}(\mathrm{By}\mathrm{midpoint}\mathrm{theorem}) \\ \mathrm{Also},\mathrm{B}\mathrm{is}\mathrm{extended}\mathrm{to}\mathrm{C}\mathrm{and}\mathrm{O}\mathrm{to}\mathrm{Q}. \\ \therefore \mathrm{AC}\parallel \mathrm{SQ} \\ \mathrm{Now},\mathrm{consider}△\mathrm{ROQ}. \\ \mathrm{BC}\parallel \mathrm{OQ}\mathrm{and}\mathrm{B}\mathrm{is}\mathrm{the}\mathrm{mid}\mathrm{point}\mathrm{of}\mathrm{RO}. \\ \mathrm{By}\mathrm{the}\mathrm{converse}\mathrm{of}\mathrm{midpoint}\mathrm{theorem},\mathrm{C}\mathrm{is}\mathrm{the}\mathrm{midpoint}\mathrm{of}\mathrm{RQ}. \end{gathered}$$