Question

In the adjacent figure, ABCD is a parallelogram and line segments AE and CF bisect the angles A and C respectively. Show that AE||CF.

Answer 1

Refer to the figure of the book.

$$\begin{gathered} \angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{C}\left(\mathrm{opposite}\mathrm{angles}\mathrm{of}a\mathrm{parallelogram}\mathrm{are}\mathrm{equal}\right) \\ \Rightarrow \frac{1}{2}\angle \mathrm{A}=\frac{1}{2}\angle \mathrm{C} \\ =>\angle \mathrm{E}\mathrm{A}\mathrm{D}=\angle \mathrm{F}\mathrm{C}\mathrm{B}\mathit{(}AE\mathrm{and}\mathit{}CF\mathrm{bisect}\mathrm{the}\mathrm{angles}A\mathrm{and}C,\mathrm{respectively}) \\ \mathrm{In}∆ADE\mathrm{and}∆CBF: \\ \angle B=\angle D\left(o\mathrm{pposite}\mathrm{angles}\mathrm{of}\mathrm{a}\mathrm{parallelogram}\mathrm{are}\mathrm{equal}\right) \\ \angle EAD=\angle FCB(p\mathrm{roved}\mathrm{above}) \\ AD=BC\left(o\mathrm{pposite}\mathrm{sides}\mathrm{of}\mathrm{a}\mathrm{parallelogram}\mathrm{are}\mathrm{equal}\right) \\ By\mathrm{AAS}\mathrm{concruency}\mathrm{criteria}: \\ ∆ADE\cong ∆BCF \\ DE=BF(c\mathrm{orresponding}\mathrm{parts}\mathrm{of}\mathrm{congruent}\mathrm{triangles}) \\ CD=AB\left(o\mathrm{pposite}\mathrm{sides}\mathrm{of}\mathrm{a}\mathrm{parallelogram}\mathrm{are}\mathrm{equal}\right) \\ \mathrm{Also},CD-DE=AB-BF \\ \Rightarrow CE=AF \\ ABCD\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{paralleleogram}. \\ \therefore CD\parallel AB(o\mathrm{pposite}\mathrm{sides}\mathrm{of}\mathrm{a}\mathrm{parallelogram}\mathrm{are}\mathrm{parallel}) \\ =>CE\parallel AF \\ \mathrm{If}\mathrm{one}\mathrm{pair}\mathrm{of}\mathrm{sides}\mathrm{of}\mathrm{a}\mathrm{quadrilateral}\mathrm{is}\mathrm{parallel}\mathrm{and}\mathrm{equal},\mathrm{then}\mathrm{it}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{parallelogram}. \\ \mathrm{Therefore},\mathrm{AECF}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{parallelogram}. \\ \therefore AE\parallel CF \end{gathered}$$