Question

$$\begin{gathered} \mathrm{In}\mathrm{the}\mathrm{adjoining}\mathrm{figure},\square \mathrm{ABCD}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{parallelogram},\mathrm{whose}\mathrm{diagonals}\mathrm{intersect}\mathrm{at}\mathrm{O}.\mathrm{P}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{point} \\ \mathrm{on}\mathrm{the}\mathrm{diagonal}\mathrm{AC},\mathrm{such}\mathrm{that}\mathrm{PA}:\mathrm{AO}=1:2.\mathrm{BP}\mathrm{meets}\mathrm{DA}\mathrm{produced}\text{to}\mathrm{Q}.\text{F}\mathrm{ind} \\ \left(\mathrm{i}\right)\mathrm{PQ}:\mathrm{QB} \\ \left(\mathrm{ii}\right)\mathrm{A}(△\mathrm{PQA}):\mathrm{A}(△\mathrm{PBC}) \\ \left(\mathrm{iii}\right)\mathrm{A}(△\mathrm{PQA}):\mathrm{A}(\square \mathrm{QBCA}) \end{gathered}$$

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{Given}:\square \mathrm{ABCD}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{parallelogram}. \\ \mathrm{PA}:\mathrm{AO}=1:2 \\ \left(\mathrm{i}\right)\square \mathrm{ABCD}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{parallelogram}. \\ \mathrm{Diagonals}\mathrm{of}\text{a}\mathrm{parallelogram}\mathrm{bisect}\mathrm{each}\mathrm{other}. \\ \mathrm{Therefore},\mathrm{AO}=\mathrm{OC}. \\ \text{Given:}\frac{\mathrm{PA}}{\mathrm{AO}}=\frac{1}{2} \\ \Rightarrow \frac{\mathrm{PA}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{PA}}{2\mathrm{AO}}=\frac{1}{2}\times \frac{\mathrm{PA}}{\mathrm{AO}} \\ =\frac{1}{2}\times \frac{1}{2} \\ =\frac{1}{4}...\left(1\right) \\ \square \mathrm{ABCD}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{parallelogram}. \\ \mathrm{Therefore},\mathrm{AD}\parallel \mathrm{BC}. \\ \mathrm{We}\mathrm{can}\mathrm{say}\text{that}\mathrm{QA}\parallel \mathrm{BC}. \\ \mathrm{According}\mathrm{to}\mathrm{the}\mathrm{basic}\mathrm{proportionality}\mathrm{theorem}, \\ \frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{QB}}=\frac{\mathrm{PA}}{\mathrm{AC}} \\ \mathrm{From}\left(1\right),\text{we get:} \\ \frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{QB}}=\frac{1}{4} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \left(\mathrm{ii}\right)\mathrm{In}△\mathrm{PQA}\&△\mathrm{PBC}, \\ \angle \mathrm{PQA}=\angle \mathrm{PBC}[\mathrm{Corresponding}\mathrm{angles},\mathrm{as}\mathrm{QA}\parallel \mathrm{BC}] \\ \angle \mathrm{QPA}=\angle \mathrm{BPC}[\mathrm{Common}\mathrm{angle}\text{s}] \\ \therefore \mathrm{By}\mathrm{AA}\mathrm{similarity}, \\ △\mathrm{PQA}~△\mathrm{PBC}. \\ \mathrm{Hence},\frac{\mathrm{A}(△\mathrm{PQA})}{\mathrm{A}(△\mathrm{PBC})}=\frac{{\mathrm{PQ}}^2}{{\mathrm{PB}}^2}...\left(2\right) \\ \mathrm{But}\mathrm{we}\mathrm{know}\text{that}\frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{QB}}=\frac{1}{4}. \\ \Rightarrow \frac{\mathrm{QB}}{\mathrm{PQ}}=\frac{4}{1}\left[\mathrm{Invertendo}\right] \\ \Rightarrow \frac{\mathrm{QB}+\mathrm{PQ}}{\mathrm{PQ}}=\frac{4+1}{1}\left[\mathrm{Componendo}\right] \\ \Rightarrow \frac{\mathrm{PB}}{\mathrm{PQ}}=\frac{5}{1} \\ \Rightarrow \frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{PB}}=\frac{1}{5}\left[\mathrm{Invertendo}\right] \\ \therefore \mathrm{From}\left(2\right),\text{we get:} \\ \frac{\mathrm{A}(△\mathrm{PQA})}{\mathrm{A}(△\mathrm{PBC})}=\frac{1^2}{5^2}=\frac{1}{25}\Rightarrow \mathrm{A}(△\mathrm{PQA}):\mathrm{A}(△\mathrm{PBC})=1:25 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \left(\mathrm{iii}\right)\mathrm{We}\mathrm{have}\frac{\mathrm{A}(△\mathrm{PQA})}{\mathrm{A}(△\mathrm{PBC})}=\frac{1}{25} \\ \Rightarrow \frac{\mathrm{A}(△\mathrm{PBC})}{\mathrm{A}(△\mathrm{PQA})}=\frac{25}{1}\left[\mathrm{Invertendo}\right] \\ \Rightarrow \frac{\mathrm{A}(△\mathrm{PBC})-\mathrm{A}(△\mathrm{PQA})}{\mathrm{A}(△\mathrm{PQA})}=\frac{25-1}{1}\left[\mathrm{Componendo}\right] \\ \Leftarrow \frac{\mathrm{A}(\square \mathrm{QBCA})}{\mathrm{A}(△\mathrm{PQA})}=\frac{24}{1} \\ \therefore \frac{\mathrm{A}(△\mathrm{PQA})}{\mathrm{A}(\square \mathrm{QBCA})}=\frac{1}{24}\left[\mathrm{Invertendo}\right] \\ \mathrm{Hence},\mathrm{A}(△\mathrm{PQA}):\mathrm{A}(\square \mathrm{QBCA})=1:24 \end{gathered}$$