Question

$$\begin{gathered} \mathrm{In}\mathrm{the}\mathrm{adjoining}\mathrm{figure},\mathrm{DE}\parallel \mathrm{BC}\mathrm{and}\mathrm{AD}:\mathrm{DB}=5:4. \\ \mathrm{Find}\left(\mathrm{i}\right)\mathrm{DE}:\mathrm{BC} \\ \left(\mathrm{ii}\right)\mathrm{DO}:\mathrm{DC} \\ \left(\mathrm{iii}\right)\mathrm{A}(△\mathrm{DOE}):\mathrm{A}(△\mathrm{DCE}) \end{gathered}$$

Answer 1

(i)
$$\begin{gathered} \text{In}△\mathrm{ADE}\text{and}△\mathrm{ABC}, \\ \angle \mathrm{ADE}=\angle \mathrm{ABC}[\mathrm{Corresponding}\mathrm{angles},\mathrm{as}\mathrm{DE}\parallel \mathrm{BC}] \\ \angle \mathrm{AED}=\angle \mathrm{ACB}[\mathrm{Corresponding}\mathrm{angles},\mathrm{as}\mathrm{DE}\parallel \mathrm{BC}] \\ \mathrm{Therefore},\mathrm{by}\mathrm{AA}\mathrm{similarity}\mathrm{test}, \\ △\mathrm{ADE}~△\mathrm{ABC} \\ \mathrm{Therefore},\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{BC}}=\frac{\mathrm{EA}}{\mathrm{CA}} \\ \frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{BC}} \\ \text{We}\mathrm{know}\text{that}\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}=\frac{5}{4}. \\ \Rightarrow \frac{\mathrm{DB}}{\mathrm{AD}}=\frac{4}{5} \\ \Rightarrow \frac{\mathrm{DB}+\mathrm{AD}}{\mathrm{AD}}=\frac{4+5}{5} \\ \Rightarrow \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AD}}=\frac{9}{5} \\ \Rightarrow \frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AB}}=\frac{5}{9} \\ \mathrm{Therefore},\frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{BC}}=\frac{5}{9}. \end{gathered}$$

(ii)
$$\begin{gathered} \text{In}△\mathrm{DOE}\text{and}△\mathrm{COB}, \\ \angle \mathrm{DEO}=\angle \mathrm{CBO}[\mathrm{Alternate}\mathrm{angles}] \\ \angle \mathrm{EDO}=\angle \mathrm{BCO}[\mathrm{Alternate}\mathrm{angles}] \\ \mathrm{Therefore},\mathrm{by}\mathrm{AA}\mathrm{similarity}, \\ △\mathrm{DOE}~△\mathrm{COB} \\ \mathrm{Therefore},\frac{\mathrm{DO}}{\mathrm{CO}}=\frac{\mathrm{OE}}{\mathrm{OB}}=\frac{\mathrm{ED}}{\mathrm{BC}} \\ \frac{\mathrm{DO}}{\mathrm{CO}}=\frac{\mathrm{ED}}{\mathrm{BC}} \\ \Rightarrow \frac{\mathrm{DO}}{\mathrm{CO}}=\frac{5}{9} \\ \Rightarrow \frac{\mathrm{CO}}{\mathrm{DO}}=\frac{9}{5} \end{gathered}$$

$\Rightarrow \frac{\mathrm{CO}+\mathrm{DO}}{\mathrm{DO}}=\frac{9+5}{5}\Rightarrow \frac{\mathrm{DC}}{\mathrm{DO}}=\frac{14}{5}\Rightarrow \frac{\mathrm{DO}}{\mathrm{DC}}=\frac{5}{14}$

$\mathrm{Hence},\mathrm{DO}:\mathrm{DC}=5:14$

(iii)

$$\begin{gathered} \mathrm{Construction}:\mathrm{Draw}\mathrm{EF}\perp \mathrm{DC}. \\ \text{F}\mathrm{rom}\left(\mathrm{ii}\right),\text{we know}\mathrm{that}\mathrm{DO}:\mathrm{DC}=5:14. \\ \frac{\mathrm{A}\left(△\mathrm{DOE}\right)}{\mathrm{A}\left(△\mathrm{DCE}\right)}=\frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}\times \mathrm{DO}\times \mathrm{EF}}{{\displaystyle \frac{1}{2}}\times \mathrm{DC}\times \mathrm{EF}} \\ =\frac{\mathrm{DO}}{\mathrm{DC}} \\ =\frac{5}{14} \\ \mathrm{Hence},\mathrm{A}\left(△\mathrm{DOE}\right):\mathrm{A}\left(△\mathrm{DCE}\right)=5:14. \end{gathered}$$