Question

In the fig. 3.21 seg AB$\cong$seg AD and seg BC $\cong$ seg DC prove that seg AC is perpendicular bisector of Side BD.

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{Given}:\mathrm{seg}\mathrm{AB}\cong \mathrm{seg}\hspace{0.17em}\mathrm{AD} \\ \text{O}r,\mathrm{AB}=\mathrm{AD} \\ \mathrm{seg}\mathrm{BC}\cong \mathrm{seg}\mathrm{DC} \\ BC=DC \\ \mathrm{In}△\mathrm{ABC}\mathrm{and}△\mathrm{ADC}, \\ \mathrm{AB}=\mathrm{AD}\left(\mathrm{Given}\right) \\ \mathrm{BC}=\mathrm{DC}\left(\mathrm{Given}\right) \\ \mathrm{AC}=\mathrm{AC}\left(\mathrm{common}\right) \\ \therefore △\mathrm{ABC}\cong △\mathrm{ADC}(\mathrm{SSS}\mathrm{test}) \\ \mathrm{Thus},\angle \mathrm{BAP}=\angle \mathrm{DAP}(\mathrm{by}\mathrm{c}.\mathrm{a}.\mathrm{c}.\mathrm{t})...\left(1\right) \\ \mathrm{In}△\mathrm{ABP}\mathrm{and}△\mathrm{ADP}, \\ \mathrm{AB}\hspace{0.17em}=\mathrm{AD} \\ \angle \mathrm{BAP}=\angle \mathrm{DAP}\left\{\mathrm{from}\left(1\right)\right\} \\ \mathrm{AP}=\mathrm{AP}\left(\mathrm{common}\right) \\ \therefore △\mathrm{ABP}\cong △\mathrm{ADP}(\mathrm{SAS}\mathrm{test}) \\ \mathrm{Thus},\mathrm{BP}=\mathrm{PD}(\mathrm{by}\mathrm{c}.\mathrm{s}.\mathrm{c}.\mathrm{t})\mathrm{and} \\ \angle \mathrm{APB}=\angle \mathrm{APD}(\mathrm{by}\mathrm{c}.\mathrm{a}.\mathrm{c}.\mathrm{t}) \\ \mathrm{Since}\angle \mathrm{APB}+\angle \mathrm{APD}=180°\left(\text{l}\mathrm{inear}\mathrm{pair}\right), \\ 2\angle \mathrm{APB}=180° \\ \Rightarrow \angle \mathrm{APB}=90°=\angle \mathrm{APD} \\ \mathrm{Hence},\mathrm{AC}\mathrm{is}\mathrm{the}\mathrm{perpendicular}\mathrm{bisector}\mathrm{of}\mathrm{BD}. \end{gathered}$$