Question

$$\begin{gathered} \mathrm{In}\mathrm{the}\mathrm{figure},\angle \mathrm{LMN}=90°,\angle \mathrm{LKN}=90°\text{and}\mathrm{seg}\mathrm{MK}\perp \mathrm{seg}\mathrm{LN}. \\ \mathrm{Prove}\mathrm{that}\mathrm{R}\mathrm{is}\mathrm{the}\mathrm{mid}-\mathrm{point}\mathrm{of}\mathrm{seg}\mathrm{MK}. \end{gathered}$$

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{In}△\mathrm{LMN}, \\ \angle \mathrm{LMN}=90°\left(\mathrm{Given}\right) \\ \mathrm{seg}\mathrm{MR}\perp \mathrm{hypotenuse}\mathrm{LN}(\mathrm{Given}) \\ \therefore {\mathrm{MR}}^2=\mathrm{LR}\times \mathrm{RN}...\left(\mathrm{i}\right)[\mathrm{By}\mathrm{the}\mathrm{property}\mathrm{of}\mathrm{geometric}\mathrm{mean}] \\ \mathrm{In}△\mathrm{LKN}, \\ \angle \mathrm{LKN}=90°\left(\mathrm{Given}\right) \\ \text{S}\mathrm{eg}\mathrm{KR}\perp \mathrm{hypotenuse}\mathrm{LN}(\mathrm{Given}) \\ \therefore {\mathrm{KR}}^2=\mathrm{LR}\times \mathrm{RN}.....\left(\mathrm{ii}\right)[\mathrm{By}\mathrm{the}\mathrm{property}\mathrm{of}\mathrm{geometric}\mathrm{mean}] \\ {\mathrm{MR}}^2={\mathrm{KR}}^2[\mathrm{From}(\mathrm{i})\&(\mathrm{ii})] \\ \text{So},\mathrm{MR}=\mathrm{KR} \\ \therefore \mathrm{R}\mathrm{is}\mathrm{the}\mathrm{mid}-\mathrm{point}\mathrm{of}\mathrm{seg}\mathrm{MK}. \end{gathered}$$