Question

In the following figure, ABCD is a parallelogram. If E is the mid-point of BC and AE is the bisector of ∠A, then prove that AB = $\frac{1}{2}$ AD.

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{Given}:\mathrm{In}\mathrm{a}\mathrm{parallelogram}\mathrm{ABCD},\mathrm{E}\mathrm{is}\mathrm{the}\mathrm{mid}-\mathrm{point}\mathrm{of}\mathrm{BC}\mathrm{and}\mathrm{AE}\mathrm{is}\mathrm{the}\mathrm{angle}\mathrm{bisector}\mathrm{of}\angle \mathrm{A}. \\ \mathrm{To}\mathrm{prove}:\mathrm{AB}=\frac{!}{2}\mathrm{AD} \\ \mathrm{Proof}: \\ \mathrm{As},\mathrm{AE}\mathrm{is}\mathrm{the}\mathrm{angle}\mathrm{bisector}\mathrm{of}\angle \mathrm{A} \\ \Rightarrow \angle \mathrm{DAE}=\angle \mathrm{BAE} \\ \mathrm{but}\angle \mathrm{DAE}=\angle \mathrm{AEB}\left(\mathrm{Alternate}\mathrm{interior}\mathrm{angles}\right) \\ \mathrm{So},\angle \mathrm{BAE}=\angle \mathrm{AEB} \\ \Rightarrow \mathrm{AB}=\mathrm{BE}.....\left(\mathrm{i}\right)\left(\mathrm{Sides}\mathrm{opposite}\mathrm{to}\mathrm{equal}\mathrm{angles}\mathrm{are}\mathrm{equal}\right) \\ \mathrm{Also},\mathrm{E}\mathrm{is}\mathrm{the}\mathrm{mid}-\mathrm{point}\mathrm{of}\mathrm{BC} \\ \Rightarrow \mathrm{BE}=\frac{1}{2}\mathrm{BC} \\ \Rightarrow \mathrm{AB}=\frac{1}{2}\mathrm{BC}\left[\mathrm{Using}\left(\mathrm{i}\right)\right] \\ \mathrm{but}\mathrm{AD}=\mathrm{BC}\left(\mathrm{Opposite}\mathrm{sides}\mathrm{of}\mathrm{a}\mathrm{parallelogram}\mathrm{ABCD}\right) \\ \therefore \mathrm{AB}=\frac{1}{2}\mathrm{AD} \end{gathered}$$