Question

In the following figures, ABCD is a parallelogram. A circle through A, B, C intersects CD or CD produced at E. Prove that AE = AD.

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{Given}:\mathrm{A}\mathrm{parallelogram}\mathrm{ABCD}\mathrm{and}\mathrm{a}\mathrm{circle}\mathrm{through}\mathrm{A},\mathrm{B}\mathrm{and}\mathrm{C}. \\ \mathrm{To}\mathrm{prove}:\mathrm{AE}=\mathrm{AD} \\ \mathrm{Construction}:\mathrm{Join}\mathrm{AE} \\ \mathrm{Proof}: \\ \mathrm{From}\mathrm{figure}\left(\mathrm{i}\right); \\ \mathrm{As},\angle \mathrm{ABC}=\angle \mathrm{ADC}\left(\mathrm{Opposite}\mathrm{angles}\mathrm{of}\mathrm{parallelogram}\mathrm{ABCD}\right) \\ \mathrm{But}\angle \mathrm{ABC}+\angle \mathrm{AEC}=180°\left(\mathrm{Opposite}\mathrm{angles}\mathrm{of}\mathrm{cyclic}\mathrm{quadrilateral}\mathrm{AECB}\right) \\ \mathrm{So},\angle \mathrm{ADC}+\angle \mathrm{AEC}=180° \\ \Rightarrow \angle \mathrm{ADC}+\angle \mathrm{AED}=180°.....\left(1\right) \\ \mathrm{Also},\angle \mathrm{ADC}+\angle \mathrm{ADE}=180°\left(\mathrm{Linear}\mathrm{pair}\right).....\left(2\right) \\ \mathrm{From}\left(1\right)\mathrm{and}\left(2\right),\mathrm{we}\mathrm{get} \\ \angle \mathrm{ADC}+\angle \mathrm{AED}=\angle \mathrm{ADC}+\angle \mathrm{ADE} \\ \Rightarrow \angle \mathrm{AED}=\angle \mathrm{ADE} \\ \therefore \mathrm{AD}=\mathrm{AE}\left(\mathrm{Sides}\mathrm{opposite}\mathrm{to}\mathrm{equal}\mathrm{angles}\mathrm{are}\mathrm{equal}\right) \\ \mathrm{Similalry},\mathrm{from}\mathrm{figure}\left(\mathrm{ii}\right); \\ \mathrm{As},\angle \mathrm{ABC}=\angle \mathrm{ADC}\left(\mathrm{Opposite}\mathrm{angles}\mathrm{of}\mathrm{parallelogram}\mathrm{ABCD}\right) \\ \mathrm{But}\angle \mathrm{ABC}+\angle \mathrm{AEC}=180°\left(\mathrm{Opposite}\mathrm{angles}\mathrm{of}\mathrm{cyclic}\mathrm{quadrilateral}\mathrm{AECB}\right) \\ \mathrm{So},\angle \mathrm{ADC}+\angle \mathrm{AEC}=180° \\ \Rightarrow \angle \mathrm{ADE}+\angle \mathrm{AEC}=180°.....\left(1\right) \\ \mathrm{Also},\angle \mathrm{AEC}+\angle \mathrm{AED}=180°\left(\mathrm{Linear}\mathrm{pair}\right).....\left(2\right) \\ \mathrm{From}\left(1\right)\mathrm{and}\left(2\right),\mathrm{we}\mathrm{get} \\ \angle \mathrm{ADE}+\angle \mathrm{AEC}=\angle \mathrm{AEC}+\angle \mathrm{AED} \\ \Rightarrow \angle \mathrm{ADE}=\angle \mathrm{AED} \\ \therefore \mathrm{AD}=\mathrm{AE}\left(\mathrm{Sides}\mathrm{opposite}\mathrm{to}\mathrm{equal}\mathrm{angles}\mathrm{are}\mathrm{equal}\right) \end{gathered}$$