Question

In the given figure O is the centre and seg AB is a diameter.At point C on the circle,the tangent CD is drawn.Line BD is a tangent to the circle at point B. Show that seg OD$\parallel$ chord AC.

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{In}△\mathrm{COD}\mathrm{and}∆\mathrm{BOD} \\ \mathrm{CD}=\mathrm{BD}(\mathrm{tangents}\mathrm{are}\mathrm{equal}\mathrm{from}\mathrm{an}\mathrm{external}\mathrm{point}) \\ \mathrm{OC}=\mathrm{OB}\left(\mathrm{radius}\right) \\ \mathrm{OD}=\mathrm{DO}\left(\mathrm{common}\right) \\ \mathrm{By}\mathrm{SSS}\mathrm{congruency}△\mathrm{COD}\cong ∆\mathrm{BOD} \\ \angle \mathrm{CDO}=\angle \mathrm{BDO}(\mathrm{c}.\mathrm{p}.\mathrm{c}.\mathrm{t}) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \angle \mathrm{DBE}=\angle \mathrm{BAC}(\mathrm{angles}\mathrm{in}\mathrm{the}\mathrm{alternate}\mathrm{segment}) \\ \angle \mathrm{DCE}=\angle \mathrm{BAC}(\mathrm{angles}\mathrm{in}\mathrm{the}\mathrm{alternate}\mathrm{segment}) \\ \mathrm{So},\angle \mathrm{DBE}=\angle \mathrm{DCE} \\ \mathrm{In}△\mathrm{CED}\mathrm{and}∆\mathrm{BED} \\ \mathrm{CD}=\mathrm{BD}(\mathrm{tangents}\mathrm{are}\mathrm{equal}\mathrm{from}\mathrm{an}\mathrm{external}\mathrm{point}) \\ \angle \mathrm{CDO}=\angle \mathrm{BDO}(\mathrm{proved}\mathrm{above}) \\ \angle \mathrm{DCE}=\angle \mathrm{DBE} \\ \mathrm{By}\mathrm{ASA}\mathrm{congruency}△\mathrm{CED}\cong ∆\mathrm{BED} \\ \angle \mathrm{CED}=\angle \mathrm{BED}(\mathrm{c}.\mathrm{p}.\mathrm{c}.\mathrm{t}) \\ \angle \mathrm{CED}+\angle \mathrm{BED}=180°(\mathrm{linear}\mathrm{pair}) \\ \Rightarrow \angle \mathrm{CED}+\angle \mathrm{CED}=180° \\ \Rightarrow 2\angle \mathrm{CED}=180° \\ \Rightarrow \angle \mathrm{CED}=90° \\ \angle \mathrm{ACB}=90°(\mathrm{angle}\mathrm{in}\mathrm{a}\mathrm{semicircle}) \\ \mathrm{So},\angle \mathrm{ACB}\mathrm{and}\angle \mathrm{CED}\mathrm{are}\mathrm{equal}\mathrm{and}\mathrm{they}\mathrm{are}\mathrm{alternate}\mathrm{angles} \\ \mathrm{Hence},\mathrm{AC}\parallel \mathrm{OD} \end{gathered}$$