Question

In the given figure, O is the centre of a circle; PQL and PRM are the tangents at the points Q and R respectively, and S is a point on the circle, such that ∠SQL = 50° and ∠SRM = 60°. Find ∠QSR.


(a) 40°
(b) 50°
(c) 60°
(d) 70°

Answer 1

$$\begin{gathered} \left(\mathrm{d}\right)70° \\ PQL\mathrm{}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{}\mathrm{a}\mathrm{}\mathrm{tangent}OQ\mathrm{is}\mathrm{}\mathrm{the}\mathrm{}\mathrm{radius};\mathrm{}\mathrm{s}\mathrm{o},\mathrm{}\angle OQL={90}^0.\mathrm{} \\ \therefore \mathrm{\angle }\mathrm{O}\mathrm{Q}\mathrm{S}=\left({90}^0-{50}^0\right)={40}^0 \\ \mathrm{N}\mathrm{o}\mathrm{w},\mathrm{}\mathrm{O}\mathrm{Q}=\mathrm{O}\mathrm{S}\mathrm{}\left(\mathrm{Ra}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{}\mathrm{o}\mathrm{f}\mathrm{}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{}\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{}\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{l}\mathrm{e}\right) \\ \Rightarrow \mathrm{\angle }\mathrm{O}\mathrm{S}\mathrm{Q}=\mathrm{\angle }\mathrm{O}\mathrm{Q}\mathrm{S}={40}^0 \\ \mathrm{S}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{l}\mathrm{y},\mathrm{}\mathrm{\angle }\mathrm{O}\mathrm{R}\mathrm{S}=\left({90}^0-{60}^0\right)={30}^0, \\ \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{},\mathrm{O}\mathrm{R}=\mathrm{O}\mathrm{S}\mathrm{}\left(\text{R}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{}\mathrm{o}\mathrm{f}\mathrm{}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{}\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{}\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{l}\mathrm{e}\right) \\ \Rightarrow \mathrm{\angle }\mathrm{O}\mathrm{S}\mathrm{R}=\mathrm{\angle }\mathrm{O}\mathrm{R}\mathrm{S}={30}^0 \\ \therefore \mathrm{\angle }\mathrm{Q}\mathrm{S}\mathrm{R}=\mathrm{\angle }\mathrm{O}\mathrm{S}\mathrm{Q}+\mathrm{\angle }\mathrm{O}\mathrm{S}\mathrm{R} \\ \Rightarrow \mathrm{\angle }\mathrm{Q}\mathrm{S}\mathrm{R}=\left({40}^0+{30}^0\right) \\ \Rightarrow \mathrm{\angle }\mathrm{Q}\mathrm{S}\mathrm{R}={70}^0 \end{gathered}$$