Question

In the given figure, PA and PB are the tangents to a circle with centre O. Show that the points A, O, B, P are concyclic.

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{Here},\mathrm{OA}=\mathrm{OB} \\ \mathrm{And}\mathrm{}\mathrm{OA}\perp \mathrm{AP},\mathrm{OA}\perp \mathrm{BP}(\text{S}\mathrm{ince}\mathrm{}\mathrm{tangents}\mathrm{}\mathrm{drawn}\mathrm{}\mathrm{from}\mathrm{}\mathrm{an}\mathrm{}\mathrm{external}\mathrm{}\mathrm{point}\mathrm{}\mathrm{are} \\ \mathrm{perpendicular}\mathrm{}\mathrm{to}\mathrm{}\mathrm{the}\mathrm{}\mathrm{radius}\mathrm{}\mathrm{at}\text{the}\mathrm{}\mathrm{point}\mathrm{}\mathrm{of}\mathrm{}\mathrm{contact}) \\ \therefore \mathrm{\angle }\mathrm{OAP}={90}^0,\mathrm{\angle }\mathrm{OBP}={90}^0 \\ \therefore \mathrm{\angle }\mathrm{OAP}+\mathrm{\angle }\mathrm{OBP}={90}^0+{90}^0={180}^0 \\ \therefore \mathrm{\angle }\mathrm{AOB}+\mathrm{\angle }\mathrm{APB}={180}^0(\text{S}\mathrm{ince},\mathrm{\angle }\mathrm{OAP}+\mathrm{\angle }\mathrm{OBP}+\mathrm{\angle }\mathrm{AOB}+\mathrm{\angle }\mathrm{APB}={360}^0) \\ \text{S}\mathrm{um}\mathrm{of}\mathrm{opposite}\mathrm{angle}\mathrm{of}\mathrm{a}\mathrm{quadrilateral}\mathrm{is}180°. \\ \mathrm{Hence},\mathrm{A},\mathrm{O},\mathrm{B}\text{and}\mathrm{P}\mathrm{}\mathrm{are}\mathrm{}\mathrm{concyclic}. \end{gathered}$$