Question

In $△$ ABC, if cos A + cos C = 4 $si{n}^2\frac{1}{2}B,$ then a, b, c are in

• A. A. P.
• B. G. P.
• C. H. P.
• D. None of these

Answer 1

The correct option is A

A. P.

cos A + cos C = 4 $si{n}^2\frac{1}{2}B$
$\Rightarrow 2cos\frac{A+C}{2}cos\frac{A-C}{2}=4si{n}^2\frac{B}{2}$
$\Rightarrow cos\frac{A+C}{2}cos\frac{A-C}{2}=2si{n}^2\frac{B}{2}$
$\Rightarrow cos\left(\frac{A-C}{2}\right)=2sin\frac{B}{2}$
$\Rightarrow cos\frac{A}{2}cos\frac{C}{2}sin\frac{A}{2}sin\frac{C}{2}=2sin\frac{B}{2}$
$\Rightarrow \sqrt{\frac{s(s-a)}{bc}}\sqrt{\frac{s(s-c)}{ab}}+\sqrt{\frac{(s-b(s-c)}{bc}}\sqrt{\frac{(s-a)(s-b)}{ab}}$
$=2\sqrt{\frac{(s-a)(s-c)}{ac}}\sqrt{\frac{(s-a)(s-c)}{ac}}+\frac{s-b}{b}\sqrt{\frac{(s-c)(s-a)}{ac}}=2\sqrt{\frac{(s-a)(s-c)}{ac}}$
$\Rightarrow \frac{S}{b}+\frac{s-b}{2}=2\Rightarrow a+c=2b\Rightarrow a,b,careinA.P.$