Question

integration of e^2x​ dx / e^2x - 2

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{Let}\mathrm{I}=\int \frac{{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}\mathrm{dx}}{{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}-2} \\ \mathrm{Put}{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}-2=\mathrm{t} \\ \Rightarrow 2{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}\mathrm{dx}=\mathrm{dt} \\ \Rightarrow {\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}\mathrm{dx}=\frac{\mathrm{dt}}{2} \\ \mathrm{Now},\mathrm{I}=\frac{1}{2}\int \frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{t}} \\ =\frac{1}{2}\log \left|\mathrm{t}\right|+\mathrm{C} \\ =\frac{1}{2}\log \left|{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}-2\right|+\mathrm{C} \end{gathered}$$