Question

$\left|\begin{array}{ccc}1& a& a^2\\ 1& b& b^2\\ 1& c& c^2\end{array}\right|=(a-b)(b-c)(c-a)$

Answer 1

$R_1\to R_1-R_3$

$R_2\to R_2-R_3$

$\left|\begin{array}{ccc}0& a-c& a^2-c^2\\ 0& b-c& b^2-c^2\\ 1& c& c^2\end{array}\right|=(a-b)(b-c)$ $\left|\begin{array}{ccc}0& 1& a+c\\ 0& 1& b+c\\ 1& c& 0^2\end{array}\right|$

Expanding along $C_1$, $(a-c)(b-c)(b+c-a-c)$

$=(a-c)(b-c)(b-a)=(a-b)(b-c)(c-a)$.