Question

Let A be a non singular, symmetric matrix of order three such that $A=adj(A+A^T)$, then

• A. $A^{-1}=\frac{A}{16}$
• B. $A^{-1}=\frac{A}{64}$
• C. $adj\left(A^{-1}\right)=64A$
• D. $adj\left(A^{-1}\right)=\frac{A}{1024}$

Answer 1

The correct option is C $adj\left(A^{-1}\right)=64A$

$A^T=A\Rightarrow A=adj\left(2A\right)$
$\Rightarrow A=2^{2}adj\left(A\right)\left[Asadj\right(kA)=k^{n-1}adj(A\left)\right]$
$\Rightarrow A=4adj\left(A\right)$
$\Rightarrow |A|=\left(64\right)|adjA|[As|kA|=k^n|A|]$
$\Rightarrow |A|=64|A{|}^2$
$\Rightarrow |A|=\frac{1}{64}$
$adj\left(A^{-1}\right)=adj\left(\frac{adjA}{|A|}\right)=\frac{1}{|A{|}^2}adj\left(adjA\right)$
$=\frac{|adjA|(adjA{)}^{-1}}{|A{|}^2}$
Since $|adjA|=|A{|}^{2}and(adjA{)}^{-1}=\frac{A}{|A|}$
$adj\left(A^{-1}\right)=(adjA{)}^{-1}=(A^{-1}|A|{)}^{-1}=\frac{(A^{-1}{)}^{-1}}{|A|}=\frac{A}{|A|}=\frac{A}{\frac{1}{64}}=64A$