Let A=⎡⎢⎣1−21−231115⎤⎥⎦
[adjA]−1=adj(A−1)
Let A=⎡⎢⎣1−21−231115⎤⎥⎦
[adjA]−1=adj(A−1)
Here, adj(A)=⎡⎢⎣1411−5114−3−5−3−1⎤⎥⎦=B(let)
∴ |B|=|adj A|=⎡⎢⎣1411−5114−3−5−3−1⎤⎥⎦=14(−4−9)−11(−11−15)−5(−33+20)=−182+286+65=169≠0
Cofactors of B are
B11=(−4−9)=−13,B12=−(−11−15)=26,B13=(−33+20)=−13B21=−(−11−15)=26,B22=−14−25=−39,B23=−(−42+55)=−13B31=(−33+20)=−13,B32=−(−42+55)=−13,B33=56−121=−65
adj(B)=adj(adj A)=⎡⎢⎣−1326−1326−39−13−13−13−65⎤⎥⎦=⎡⎢⎣−1326−1326−39−13−13−13−65⎤⎥⎦
∴ B−1=[adj A]−1=1|adj A(adj(adj A))⇒[adjA]−1=1169⎡⎢⎣−1326−1326−39−13−13−13−65⎤⎥⎦=113⎡⎢⎣−12−12−3−1−1−1−5⎤⎥⎦ …(i)
Cofactors of A−1 are
A11=−13169,A12=26169,A13=−13169,A21=26169,A22=−39169,A23=−13169A31=−13169,A32=−13169,A33=−65169
Now, adj(A−1)=⎡⎢
⎢
⎢⎣−1316926169−1316926169−39169−13169−13169−13169−65169⎤⎥
⎥
⎥⎦T=⎡⎢
⎢
⎢⎣−1316926169−1316926169−39169−13169−13169−13169−65169⎤⎥
⎥
⎥⎦
⇒adj(A−1)=113⎡⎢⎣−12−12−3−1−1−1−5⎤⎥⎦ …(ii)
From Eqs. (i) and (ii), we get that adj(A−1)=(adjA)−1
Here, adj(A)=⎡⎢⎣1411−5114−3−5−3−1⎤⎥⎦=B(let)
∴ |B|=|adj A|=⎡⎢⎣1411−5114−3−5−3−1⎤⎥⎦=14(−4−9)−11(−11−15)−5(−33+20)=−182+286+65=169≠0
Cofactors of B are
B11=(−4−9)=−13,B12=−(−11−15)=26,B13=(−33+20)=−13B21=−(−11−15)=26,B22=−14−25=−39,B23=−(−42+55)=−13B31=(−33+20)=−13,B32=−(−42+55)=−13,B33=56−121=−65
adj(B)=adj(adj A)=⎡⎢⎣−1326−1326−39−13−13−13−65⎤⎥⎦=⎡⎢⎣−1326−1326−39−13−13−13−65⎤⎥⎦
∴ B−1=[adj A]−1=1|adj A(adj(adj A))⇒[adjA]−1=1169⎡⎢⎣−1326−1326−39−13−13−13−65⎤⎥⎦=113⎡⎢⎣−12−12−3−1−1−1−5⎤⎥⎦ …(i)
Cofactors of A−1 are
A11=−13169,A12=26169,A13=−13169,A21=26169,A22=−39169,A23=−13169A31=−13169,A32=−13169,A33=−65169
Now, adj(A−1)=⎡⎢
⎢
⎢⎣−1316926169−1316926169−39169−13169−13169−13169−65169⎤⎥
⎥
⎥⎦T=⎡⎢
⎢
⎢⎣−1316926169−1316926169−39169−13169−13169−13169−65169⎤⎥
⎥
⎥⎦
⇒adj(A−1)=113⎡⎢⎣−12−12−3−1−1−1−5⎤⎥⎦ …(ii)
From Eqs. (i) and (ii), we get that adj(A−1)=(adjA)−1
