Question

Let $\frac{9^x}{9^x+3}$ then find the value of the sum $f\left(\frac{1}{2006}\right)+f\left(\frac{2}{2006}\right)+f\left(\frac{3}{2006}\right)+......f\left(\frac{2005}{2006}\right)$

Answer 1

$f\left(x\right)=\frac{9^x}{9^x+3}$

$f(1-x)=\frac{9^{1-x}}{9^{1-x}+3}$

$=\frac{\frac{9}{9^x}}{\frac{9}{9^x}+3}$

$=\frac{9}{9+3.9^x}$

And $f\left(x\right)+f(1-x)=\frac{9^x}{9^x+3}+\frac{9^{1-x}}{9^{1-x}+3}$

$=\frac{3(3+9^x)}{3(3+9^x)}=1$

$\Rightarrow f\left(x\right)+f(1-x)=1$

Now, $f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{9^{\frac{1}{2}}}{9^{\frac{1}{2}}+3}=\frac{3}{3+3}=\frac{1}{2}$

$f\left(\frac{1}{2006}\right)+f\left(\frac{2}{2006}\right)+f\left(\frac{3}{2006}\right)+f\left(\frac{4}{2006}\right)+...+f\left(\frac{2005}{2006}\right)$

$=f\left(\frac{1}{2006}\right)+f\left(\frac{2005}{2006}\right)+f\left(\frac{2}{2006}\right)+f\left(\frac{2004}{2006}\right)+...+f\left(\frac{1002}{2006}\right)+f\left(\frac{1004}{2006}\right)+f\left(\frac{1003}{2006}\right)$

$=f\left(\frac{1}{2006}\right)+f(1-\frac{1}{2006})+f\left(\frac{2}{2006}\right)+f(1-\frac{2}{2006})+...+f(1-\frac{1002}{2006})+f\left(\frac{1}{2}\right)$

Since $f\left(x\right)+f(1-x)=1$

$=(1+1+1+1+...)\left(1002\right)$times $+\frac{1}{2}$

$=1002+\frac{1}{2}=\frac{2004+1}{2}=\frac{2005}{2}=1002.5$