Question

Let $S_n=\frac{n}{(n+1)(n+2)}+\frac{n}{(n+2)(n+4)}+\frac{n}{(n+3)(n+6)}+......+\frac{1}{6n}$, then $\underset{n\to \infty }{lim}{S}_n$ is

• A. $\ln \frac{3}{2}$
• B. $\ln \frac{9}{2}$
• C. $>1$
• D. $<2$

Answer 1

Answer: (A), (D)

$\ln \frac{3}{2}$
$<2$

Given, $S_n=\frac{n}{(n+1)(n+2)}+\frac{n}{(n+2)(n+4)}+\frac{n}{(n+3)(n+6)}+......+\frac{1}{6n}$

$\Rightarrow$ $\underset{n\to \infty }{lim}\sum _{r=1}^n\frac{n}{(n+r)(n+2r)}$

$\Rightarrow$ $\underset{n\to \infty }{lim}\sum _{r=1}^n\frac{n}{n^2(1+\frac{r}{n})(1+\frac{2r}{n})}$

$={\int }_0^1\frac{dx}{(1+x)(1+2x)}={\int }_0^1(\frac{2}{1+2x}-\frac{1}{1+x})dx$

$={[\ln (1+2x)-\ln (1+x)]}_0^1=ln3-\ln 2=\ln \frac{3}{2}$