Question

Let $\mathrm{f}(\mathrm{x}+\mathrm{y})=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{f}\left(\mathrm{y}\right)$ for all $\mathrm{x}$ and $\mathrm{y}$, suppose $\mathrm{f}\left(5\right)=2$, and$\mathrm{f}’\left(0\right)=3$, then $\mathrm{f}’\left(5\right)$ equals to

• A. $6$
• B. $7$
• C. $4$
• D. $8$

Answer 1

The correct option is A

$6$

Step 1: Determine the value of $\mathrm{f}\left(0\right)$

Let us take $\mathrm{x}=5$ and $\mathrm{y}=0$. Now:

$$\begin{gathered} \mathrm{f}(\mathrm{x}+\mathrm{y})=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{f}\left(\mathrm{y}\right) \\ \Rightarrow \mathrm{f}(5+0)=\mathrm{f}\left(5\right)\mathrm{f}\left(0\right) \\ \Rightarrow \mathrm{f}\left(5\right)=2\times \mathrm{f}\left(0\right) \\ \Rightarrow 2=2\times \mathrm{f}\left(0\right) \\ \Rightarrow \mathrm{f}\left(0\right)=1 \end{gathered}$$

Step 2: Differentiate $\mathrm{f}(\mathrm{x}+\mathrm{y})=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{f}\left(\mathrm{y}\right)$ with respect to $\mathrm{x}$.

$$\begin{gathered} \mathrm{f}\text{'}(\mathrm{x}+\mathrm{y})\times \left(1+\mathrm{y}\text{'}\right)=\mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{f}\left(\mathrm{y}\right)+\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{y}\right)\mathrm{y}\text{'} \\ \Rightarrow \mathrm{f}\text{'}(5+0)\times (1+\mathrm{y}\text{'})=\mathrm{f}\text{'}\left(5\right)\mathrm{f}\left(0\right)+\mathrm{f}\left(5\right)\mathrm{f}\text{'}\left(0\right)\mathrm{y}\text{'} \\ \Rightarrow \mathrm{f}\text{'}\left(5\right)(1+\mathrm{y}\text{'})=\mathrm{f}\text{'}\left(5\right)\times 1+(2\times 3)\mathrm{y}\text{'} \\ \Rightarrow \mathrm{f}\text{'}\left(5\right)(1+\mathrm{y}\text{'})=\mathrm{f}\text{'}\left(5\right)+6\mathrm{y}\text{'} \\ \Rightarrow \mathrm{f}\text{'}\left(5\right)(1+\mathrm{y}\text{'})-\mathrm{f}\text{'}\left(5\right)=6\mathrm{y}\text{'} \\ \Rightarrow \mathrm{f}\text{'}\left(5\right)(1+\mathrm{y}\text{'}-1)=6\mathrm{y}\text{'} \\ \Rightarrow \mathrm{f}\text{'}\left(5\right)\mathrm{y}\text{'}=6\mathrm{y}\text{'} \\ \Rightarrow \mathrm{f}\text{'}\left(5\right)=6 \end{gathered}$$

Hence, option A is the correct answer.