Question

Let $i^2=-1$, then $(i^{10}-\frac{1}{i^{11}})+(i^{11}-\frac{1}{i^{12}})+(i^{12}-\frac{1}{i^{13}})+(i^{13}-\frac{1}{i^{14}})+(i^{14}+\frac{1}{i^{15}})$ is equal to

• A. $-1+i$
• B. $-1-i$
• C. $1+i$
• D. $-i$
• E. $i$

Answer 1

The correct option is A $-1+i$

We know $i^2=-1$

$(i^{10}-\frac{1}{i^{11}})+(i^{11}-\frac{1}{i^{12}})+(i^{12}-\frac{1}{i^{13}})+(i^{13}-\frac{1}{i^{14}})+(i^{14}-\frac{1}{i^{15}})$
$=(i^2-\frac{1}{i^3})+(i^3-\frac{1}{i^2})+(i^2-\frac{1}{i})+(i-\frac{1}{i^2})+(i^2-\frac{1}{i^3})$
$=-1-\frac{1}{-i}+(-i)-\frac{1}{1}+1-\frac{1}{i}+i-\frac{1}{-1}+(-1)+\frac{1}{-i}$
$=-1+\frac{1}{i}-i-1+1-\frac{1}{i}+i+1-1-\frac{1}{i}$
$=-1-\frac{1}{i}=-1+i=i-1$