Question

Let x be any real number such that x³+4x=8, then find the value of x⁷+64x²:
A. 100
B. 120
C. 128
D. 142

Answer 1

Dear student
$$\begin{gathered} {\mathrm{x}}^3+4\mathrm{x}=8 \\ \Rightarrow {\mathrm{x}}^7+4{\mathrm{x}}^5=8{\mathrm{x}}^4 \\ \Rightarrow {\mathrm{x}}^7=-4{\mathrm{x}}^5+8{\mathrm{x}}^4...\left(1\right) \\ \mathrm{Also}, \\ {\mathrm{x}}^3+4\mathrm{x}=8 \\ \Rightarrow {\mathrm{x}}^5+4{\mathrm{x}}^3=8{\mathrm{x}}^2 \\ \Rightarrow {\mathrm{x}}^5=8{\mathrm{x}}^2-4{\mathrm{x}}^3 \\ \mathrm{Put}\mathrm{the}\mathrm{value}\mathrm{of}{\mathrm{x}}^5\mathrm{in}\left(1\right),\mathrm{we}\mathrm{get} \\ {\mathrm{x}}^7=-4\left(8{\mathrm{x}}^2-4{\mathrm{x}}^3\right)+8{\mathrm{x}}^4 \\ \Rightarrow {\mathrm{x}}^7=-32{\mathrm{x}}^2+16{\mathrm{x}}^3+8{\mathrm{x}}^4 \\ \Rightarrow {\mathrm{x}}^7=-32{\mathrm{x}}^2+16\left(8-4\mathrm{x}\right)+8{\mathrm{x}}^4\left[\because {\mathrm{x}}^3+4\mathrm{x}=8\right] \\ \Rightarrow {\mathrm{x}}^7=-32{\mathrm{x}}^2+128-64\mathrm{x}+8{\mathrm{x}}^4 \\ \Rightarrow {\mathrm{x}}^7=-32{\mathrm{x}}^2+128-8\mathrm{x}\left(8-{\mathrm{x}}^3\right) \\ \Rightarrow {\mathrm{x}}^7=-32{\mathrm{x}}^2+128-8\mathrm{x}\left(4\mathrm{x}\right)\left[\because {\mathrm{x}}^3+4\mathrm{x}=8\right] \\ \Rightarrow {\mathrm{x}}^7=-32{\mathrm{x}}^2+128-32{\mathrm{x}}^2 \\ \Rightarrow \boxed{{\mathbf{x}}^{\mathbf{7}}\mathbf{+}\mathbf{64}{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{128}} \end{gathered}$$
Regards