Question

lf $\overline{a},\overline{b},\overline{c}$ are three non-coplanar, non-zero vectors, then $(\overline{a}.\overline{a})(\overline{b}\times \overline{c})+(\overline{a}.\overline{b})(\overline{c}\times \overline{a})+(\overline{a}.\overline{c})(\overline{a}\times \overline{b})$ is equal to

• A. $\left[\overline{a}\overline{b}\overline{c}\right]\overline{c}$
• B. $\left[\overline{b}\overline{c}\overline{a}\right]\overline{a}$
• C. $\left[\overline{c}\overline{a}\overline{b}\right]\overline{b}$
• D. $\overline{0}$

Answer 1

Answer: (D)

$\overline{0}$

We have,

$(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a})(\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})+(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b})(\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{a})+(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c})(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})$

$Now,$

$(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a})(\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})=[\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c}]\overrightarrow{b}-[\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}]c$

$(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b})(\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{a})=[\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}.\overrightarrow{c}]\overrightarrow{c}-[\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}.\overrightarrow{c}]\overrightarrow{a}$

$(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c})(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})=[\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c}.\overrightarrow{b}]\overrightarrow{a}-[\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c}.\overrightarrow{a}]\overrightarrow{b}$

On adding and we get.

$(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a})(\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})+(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b})(\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{a})+(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c})(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})=[\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c}]\overrightarrow{b}-[\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}]c+[\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}.\overrightarrow{c}]\overrightarrow{c}-[\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}.\overrightarrow{c}]\overrightarrow{a}+[\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c}.\overrightarrow{b}]\overrightarrow{a}-[\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c}.\overrightarrow{a}]\overrightarrow{b}$

$(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a})(\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})+(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b})(\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{a})+(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c})(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})=0$

Hence, this is the answer.