Question

${lim}_{x\to a}\frac{xcosa-acosx}{x-a}$

Answer 1

${lim}_{x\to a}\frac{x\cos a-a\cos x}{x-a}$

$={lim}_{x\to a}\frac{x\cos a-a\cos a+a\cos a-a\cos x}{x-a}$

$={lim}_{x\to a}\frac{(x-1)\cos a+a(\cos a-\cos x)}{x-a}$

$={lim}_{x\to a}\cos a+\frac{-2a\sin \left(\frac{x+a}{2}\right)\sin \left(\frac{x-a}{2}\right)}{x-a}$

$={lim}_{x\to a}\cos a+\frac{-2a\sin \left(\frac{x+a}{2}\right)\sin \left(\frac{x-a}{2}\right)}{2\times \frac{x+a}{2}\frac{x-a}{2}}\times \frac{x+a}{2}$ since ${lim}_{\theta }\to 0\frac{\sin \theta }{\theta }=1$

$=\cos a-a\left(\frac{a+a}{2}\right)=\cos a-a^2$