Question

${lim}_{x\to \pi }\frac{\sqrt{5+cosx}-2}{(\pi -x{)}^2}$

Answer 1

${lim}_{x\to \pi }\frac{\sqrt{5+cosx}-2}{(\pi -x{)}^2}$

$\Rightarrow x\to \pi ,then\pi -x\to 0,let\pi -x=y$

$={lim}_{y\to 0}\frac{\sqrt{5+cos(\pi -y)-2}}{y^2}$

$={lim}_{y\to 0}\frac{\sqrt{5-cosy}-2}{y^2}$

$={lim}_{y\to 0}\frac{\left(\sqrt{5-cosy}\right)-2}{y^2}\times \frac{(\sqrt{5-cosy}+2)}{(\sqrt{5-cosy}+2)}$

$={lim}_{y\to 0}\frac{(5-cosy-4)}{(\sqrt{5-cosy}+2)}$

$={lim}_{y\to 0}\frac{2si{n}^2\frac{y}{2}}{(\sqrt{5-cosy}+2)}$

$=2\times {\left({lim}_{y\to 0}\frac{\frac{siny}{2}}{\frac{y}{2}}\right)}^2\times \frac{1}{4}\frac{1}{{lim}_{y\to 0}(\sqrt{(5-cosy)}+2)}$

$=2\times \frac{1}{4}\times \frac{1}{\sqrt{4}+2}=2\times \frac{1}{4}\times \frac{1}{4}$

$=\frac{1}{8}$