Question

Mark the correct alternative in the following question:

Let L denote the set of all straight lines in a plane. Let a relation R be defined by lRm iff l is perpendicular to m for all l, m $\in$ L. Then, R is

(a) reflexive (b) symmetric (c) transitive (d) none of these
[NCERT EXEMPLAR]

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{We}\mathrm{have}, \\ R=\left\{\left(l,m\right):l\mathrm{is}\mathrm{perpendicular}\mathrm{to}m;l,m\in L\right\} \\ \mathrm{As},l\mathrm{is}\mathrm{not}\mathrm{perpencular}\mathrm{to}l \\ \Rightarrow \left(l,l\right)\notin R \\ \mathrm{So},R\mathrm{is}\mathrm{not}\mathrm{reflexive}\mathrm{relation} \\ \mathrm{Let}\left(l,m\right)\in R \\ \Rightarrow l\mathrm{is}\mathrm{perpendicular}\mathrm{to}m \\ \Rightarrow m\mathrm{is}\mathrm{also}\mathrm{perpendicular}\mathrm{to}l \\ \Rightarrow \left(m,l\right)\in R \\ \mathrm{So},R\mathrm{is}\mathrm{symmetric}\mathrm{relation} \\ \mathrm{Let}\left(l,m\right)\in R\mathrm{and}\left(m,n\right)\in R \\ \Rightarrow l\mathrm{is}\mathrm{perpendicular}\mathrm{to}m\mathrm{and}m\mathrm{is}\mathrm{perpendicular}\mathrm{to}n \\ \Rightarrow l\mathrm{is}\mathrm{parallel}\mathrm{to}n\left(\mathrm{Lines}\mathrm{perpendicular}\mathrm{to}\mathrm{same}\mathrm{line}\mathrm{are}\mathrm{parallel}\right) \\ \Rightarrow \left(m,l\right)\notin R \\ \mathrm{So},R\mathrm{is}\mathrm{not}\mathrm{transitive}\mathrm{relation} \end{gathered}$$

Hence, the correct alternative is option (b).