Question

$$\begin{gathered} 34.In{\tan }^{-1}x,{\tan }^{-1}yand{\tan }^{-1}zareinAP.,Findthealgebraicrelationbetweenx,yandz.Ifx,y,zbealsoinA.P.Thenshowthatx=y=z[y\ne 0]. \\ Answer:(x-y)(1+yz)=(y-z)(1+xy) \end{gathered}$$

Answer 1

Dear student
$$\begin{gathered} \mathrm{Given}: \\ {\tan }^{-1}\mathrm{x},{\tan }^{-1}\mathrm{y},{\tan }^{-1}\mathrm{z}\mathrm{are}\mathrm{in}\mathrm{A}.\mathrm{P} \\ \Rightarrow 2{\tan }^{-1}\mathrm{y}={\tan }^{-1}\mathrm{x}+{\tan }^{-1}\mathrm{z} \\ \Rightarrow 2{\tan }^{-1}\mathrm{y}={\tan }^{-1}\left(\frac{\mathrm{x}+\mathrm{z}}{1-\mathrm{xz}}\right)\left[\mathrm{As}{\tan }^{-1}\mathrm{x}+{\tan }^{-1}\mathrm{z}={\tan }^{-1}\left(\frac{\mathrm{x}+\mathrm{z}}{1-\mathrm{xz}}\right)\right] \\ \Rightarrow {\tan }^{-1}\left(\frac{2\mathrm{y}}{1-{\mathrm{y}}^2}\right)={\tan }^{-1}\left(\frac{\mathrm{x}+\mathrm{z}}{1-\mathrm{xz}}\right)\left[\mathrm{As}2{\tan }^{-1}\mathrm{x}={\tan }^{-1}\left(\frac{2\mathrm{x}}{1-{\mathrm{x}}^2}\right)\right] \\ \Rightarrow \frac{2\mathrm{y}}{1-{\mathrm{y}}^2}=\frac{\mathrm{x}+\mathrm{z}}{1-\mathrm{xz}} \\ 2\mathrm{y}-2\mathrm{xyz}=\mathrm{x}+\mathrm{z}-{\mathrm{xy}}^2-{\mathrm{y}}^2\mathrm{z} \\ \mathrm{x}+\mathrm{xyz}-\mathrm{y}-{\mathrm{y}}^2\mathrm{z}=\mathrm{y}+{\mathrm{xy}}^2-\mathrm{z}-\mathrm{xyz} \\ \left(\mathrm{x}-\mathrm{y}\right)\left(1+\mathrm{yz}\right)=\left(\mathrm{y}-\mathrm{z}\right)\left(1+\mathrm{xy}\right) \\ \left(\mathrm{y}-\mathrm{x}\right)(1+\mathrm{yz})=(\mathrm{z}-\mathrm{y})(1+\mathrm{xy})....\left(1\right) \\ \mathrm{Also},\mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z}\mathrm{are}\mathrm{in}\mathrm{AP} \\ \mathrm{y}-\mathrm{x}=\mathrm{z}-\mathrm{y}...\left(2\right) \\ \mathrm{So},\left(1\right)\mathrm{becomes} \\ 1+\mathrm{yz}=1+\mathrm{xy} \\ \mathrm{yz}=\mathrm{xy} \\ \mathrm{z}=\mathrm{x} \\ \mathrm{So},\left(2\right)\mathrm{becomes} \\ \mathrm{y}-\mathrm{z}=\mathrm{z}-\mathrm{y} \\ \mathrm{y}+\mathrm{y}=\mathrm{z}+\mathrm{z} \\ 2\mathrm{y}=2\mathrm{z} \\ \mathrm{y}=\mathrm{z} \\ \mathrm{Hence}\mathrm{x}=\mathrm{y}=\mathrm{z} \end{gathered}$$
Regards