Question

Let A be a non-singular square matrix of order $3\text{and}B=adj\left(adj\right(adj\left(A^{–1}\right)){)}^{–1}\text{and}C=adj(adj\left(adj\right(B^{–1}\left)\right){)}^{–1}$. Then

• A. $BC=|A{|}^{24}I$
• B. $adj\left(A\right)=\frac{B}{|A{|}^2}$
• C. $adj\left(A\right)=\frac{B}{|A{|}^2}$
• D. $C=|A{|}^{21}A$

Answer 1

Answer: (A), (B), (D)

$C=|A{|}^{21}A$

$A\left(adjA\right)=|A|I$
$\Rightarrow adj\left(A\right)=|A|A^{–1}$
$\Rightarrow A^{–1}=\frac{\text{adj}\left(A\right)}{|A|}$
$\Rightarrow adj\left(A^{–1}\right)=\frac{A}{|A|}$
$\Rightarrow B=adj{\left(\text{adj}\frac{A}{|A|}\right)}^{-1}=\frac{\text{adj}\left(\frac{A}{|A|}\right)}{\left|\text{adj}\frac{A}{|A|}\right|}$
$=\frac{\left|\frac{A}{|A|}\right|{\left(\frac{A}{|A|}\right)}^{-1}}{{\left|\frac{A}{|A|}\right|}^2}=\frac{|A|A^{-1}}{\left|\frac{A}{|A|}\right|}=\frac{|A|A^{-1}}{{\left(\frac{1}{|A|}\right)}^3|A|}$
$B=|A{|}^3{A}^{–1}$
$\Rightarrow C=||A{|}^3{A}^{–1}{|}^3(|A{|}^3{A}^{–1}{)}^{–1}=((|A{|}^3{)}^3|A^{–1}|{)}^3$
$\left(|A{|}^{–3}A\right)=|A{|}^{21}A$