Question

Construct a $3\times 4$ matrix, whose elements are given by :
$\left(i\right)$ $a_{ij}=\frac{1}{2}|-3i+j|$
$\left(ii\right)$ $a_{ij}=2i-j$

Answer 1

$\left(i\right):$ Since it is a $3\times 4$ matrix,
Let the required matrix be $A$,
Where $A={\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& a_{14}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& a_{24}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}& a_{34}\end{array}\right]}_{3\times 4}$
Given: $a_{ij}=\frac{1}{2}|-3i+j|$

$i,j$	$a_{ij}=\frac{1}{2}|-3i+j|$
$1,1$	$a_{11}=\frac{1}{2}|-3\left(1\right)+1|=\frac{1}{2}|-2|=1$
$1,2$	$a_{12}=\frac{1}{2}|-3\left(1\right)+2|=\frac{1}{2}|-1|=\frac{1}{2}$
$1,3$	$a_{13}=\frac{1}{2}|-3\left(1\right)+3|=\frac{1}{2}|0|=0$
$1,4$	$a_{14}=\frac{1}{2}|-3\left(1\right)+4|=\frac{1}{2}|1|=\frac{1}{2}$
$2,1$	$a_{21}=\frac{1}{2}|-3\times 2+1|=\frac{1}{2}|-5|=\frac{5}{2}$
$2,2$	$a_{22}=\frac{1}{2}|-3\times 2+2|=\frac{1}{2}|-4|=2$
$2,3$	$a_{23}=\frac{1}{2}|-3\left(2\right)+3|=\frac{1}{2}|-3|=\frac{3}{2}$
$2,4$	$a_{24}=\frac{1}{2}|-3\times 2+4|=\frac{1}{2}|-2|=1$
$3,1$	$a_{31}=\frac{1}{2}|-3\left(3\right)+1|=\frac{1}{2}|-8|=4$
$3,2$	$a_{32}=\frac{1}{2}|-3\left(3\right)+2|=\frac{1}{2}|-7|=\frac{7}{2}$
$3,3$	$a_{33}=\frac{1}{2}|-3\times 3+3|=\frac{1}{2}|-6|=3$
$3,4$	$a_{34}=\frac{1}{2}|-3\times 3+4|=\frac{1}{2}|-5|=\frac{5}{2}$

Hence, the required matrix is
$A={\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& a_{14}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& a_{24}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}& a_{34}\end{array}\right]}_{3\times 4}=\left[\begin{array}{cccc}1& \frac{1}{2}& 0& \frac{1}{2}\\ \frac{5}{2}& 2& \frac{3}{2}& 1\\ 4& \frac{7}{2}& 3& \frac{5}{2}\end{array}\right]$

$\left(ii\right)$Since it is a $3\times 4$ matrix,
Let the required matrix be $A$,
Where $A={\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& a_{14}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& a_{24}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}& a_{34}\end{array}\right]}_{3\times 4}$
Given: $a_{ij}=2i-j$

$a_{ij}$	$i,j$	$a_{ij}=2i-j$
$a_{11}$	$i=1$, $j=1$	$a_{11}=2\left(1\right)-1=2-1=1$
$a_{12}$	$i=1$, $j=2$	$a_{12}=2\left(1\right)-2=2-2=0$
$a_{13}$	$i=1$, $j=3$	$a_{13}=2\left(1\right)-3=2-3=-1$
$a_{14}$	$i=1$, $j=4$	$a_{14}=2\left(1\right)-4=2-4=-2$
$a_{21}$	$i=2$, $j=1$	$a_{21}=2\left(2\right)-1=4-1=3$
$a_{22}$	$i=2$, $j=2$	$a_{22}=2\left(2\right)-2=4-2=2$
$a_{23}$	$i=2$, $j=3$	$a_{23}=2\left(2\right)-3=4-3=1$
$a_{24}$	$i=2$, $j=4$	$a_{24}=2\left(2\right)-4=4-4=0$
$a_{31}$	$i=3$, $j=1$	$a_{31}=2\left(3\right)-1=6-1=5$
$a_{32}$	$i=3$, $j=2$	$a_{32}=2\left(3\right)-2=6-2=4$
$a_{33}$	$i=3$, $j=3$	$a_{33}=2\left(3\right)-3=6-3=3$
$a_{34}$	$i=3$, $j=4$	$a_{34}=2\left(3\right)-4=6-4=2$

Hence, the required matrix is
$A=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& -1& -2\\ 3& 2& 1& 0\\ 5& 4& 3& 2\end{array}\right]$