Question

$(\overline{a}+2\overline{b}-\overline{c}).\left[\right(\overline{a}-\overline{b})\times (\overline{a}-\overline{b}-\overline{c}\left)\right]=3\left[\overline{a}\overline{b}\overline{c}\right]$

Answer 1

We have,

$L.H.S=\left(\overline{a}+2\overline{b}-\overline{c}\right).\left[\left(\overline{a}-\overline{b}\right)\times \left(\overline{a}-\overline{b}-\overline{c}\right)\right]=3\left[\overline{a}\overline{b}\overline{c}\right]$

$=\left[\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\right]$

$=\left|\begin{array}{ccc}& 2& -1\\ 1& -1& 0\\ 1& -1& -1\end{array}\right|\left[\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}\right]$

$=\left[1-2\left(-1\right)-1\left(-1+1\right)\right]\left[\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}\right]$

$=3\left[\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}\right]$

$R.H.S$proved.