Question

9.
The AM GM between two numbers is related as AM:GM=5:4.If the difference between their GM and HM is -5/4 ,find the numbers.

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{Let}\mathrm{a}\mathrm{and}\mathrm{b}\mathrm{be}\mathrm{two}\mathrm{numbers}. \\ \mathrm{AM}:\mathrm{GM}=5:4 \\ \frac{{\displaystyle \frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}}{2}}}{\sqrt{\mathrm{ab}}}=\frac{5}{4} \\ \Rightarrow 2(\mathrm{a}+\mathrm{b})=5\sqrt{\mathrm{ab}} \\ \mathrm{Squaring}\mathrm{both}\mathrm{sides},\mathrm{we}\mathrm{get} \\ 4{\mathrm{a}}^2+4{\mathrm{b}}^2-17\mathrm{ab}=0 \\ \Rightarrow 4{\mathrm{a}}^2-16\mathrm{ab}-\mathrm{ab}+4{\mathrm{b}}^2=0 \\ \Rightarrow 4\mathrm{a}(\mathrm{a}-4\mathrm{b})-\mathrm{b}(\mathrm{a}-4\mathrm{b})=0 \\ \Rightarrow (\mathrm{a}-4\mathrm{b})(4\mathrm{a}-\mathrm{b})=0 \\ \mathrm{a}=4\mathrm{b}\mathrm{or}\mathrm{a}=\frac{\mathrm{b}}{4} \\ \mathrm{Also}, \\ \mathrm{GM}-\mathrm{HM}=-\frac{5}{4} \\ \Rightarrow \sqrt{\mathrm{ab}}-\frac{2\mathrm{ab}}{\mathrm{a}+\mathrm{b}}=\frac{-5}{4} \\ \left(\mathrm{i}\right)\mathrm{Putting}\mathrm{a}=4\mathrm{b},\mathrm{we}\mathrm{get} \\ \sqrt{4{\mathrm{b}}^2}-\frac{8{\mathrm{b}}^2}{5\mathrm{b}}=\frac{-5}{4} \\ \Rightarrow 2\mathrm{b}-\frac{8\mathrm{b}}{5}=-\frac{5}{4} \\ \Rightarrow \frac{2\mathrm{b}}{5}=-\frac{5}{4} \\ \Rightarrow \mathrm{b}=\frac{-25}{8} \\ \mathrm{Thus},\mathrm{a}=4\mathrm{b}=4\times \frac{-25}{8}=\frac{-25}{2} \\ \left(\mathrm{ii}\right)\mathrm{a}=\frac{\mathrm{b}}{4} \\ \sqrt{\frac{{\mathrm{b}}^2}{4}}-\frac{2\left({\displaystyle \frac{\mathrm{b}}{4}}\right)\mathrm{b}}{{\displaystyle \frac{\mathrm{b}}{4}+\mathrm{b}}}=-\frac{5}{4} \\ \Rightarrow \frac{\mathrm{b}}{2}-\frac{2\mathrm{b}}{5}=-\frac{5}{4} \\ \Rightarrow \frac{\mathrm{b}}{10}=-\frac{5}{4} \\ \Rightarrow \mathrm{b}=-\frac{25}{2} \\ \mathrm{a}=-\frac{25}{8} \end{gathered}$$