Question

A close rectagular box with square base is to be made to contain thousand cubic feet the cost of the material per square foot for the bottom is 15 paise, for the top 25 paise and for the side 20 paise. The labour charges for making box are Rs. 3 find the dimention of the box, when the cost is minimum?

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{Since}\mathrm{the}\mathrm{box}\mathrm{is}\mathrm{square}\mathrm{base},\mathrm{let}\mathrm{the}\mathrm{dimension}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{box}\mathrm{be}\mathrm{x}\mathrm{ft},\mathrm{x}\mathrm{ft}\mathrm{and}\mathrm{x}\mathrm{ft}. \\ \mathrm{Volume}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{box}\mathrm{V}={\mathrm{x}}^2\mathrm{y}=1000{\mathrm{ft}}^3 \\ \Rightarrow \mathrm{y}=\frac{1000}{{\mathrm{x}}^2} \\ \mathrm{Now}\mathrm{surface}\mathrm{area}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{box}\mathrm{S}=2\left[{\mathrm{x}}^2+\mathrm{xy}+\mathrm{xy}\right] \\ \mathrm{S}=4\mathrm{xy}+2{\mathrm{x}}^2 \\ =4\mathrm{x}\times \frac{1000}{{\mathrm{x}}^2}+2{\mathrm{x}}^2 \\ =\frac{4000}{\mathrm{x}}+2{\mathrm{x}}^2 \\ \mathrm{Now}\mathrm{for}\mathrm{getting}\mathrm{the}\mathrm{maximum}\mathrm{and}\mathrm{minumum}\mathrm{we}\mathrm{find}\mathrm{first}\mathrm{derivative}\mathrm{and}\mathrm{then}\mathrm{equate}\mathrm{it}\mathrm{to}\mathrm{zero}, \\ \mathrm{So}\frac{\mathrm{dS}}{\mathrm{dx}}=-\frac{4000}{{\mathrm{x}}^2}+4\mathrm{x}=0 \\ \mathrm{From}\mathrm{here}\mathrm{we}\mathrm{get}\mathrm{x}=10\mathrm{ft}. \\ \mathrm{So}\mathrm{y}=\frac{1000}{{\mathrm{x}}^2}=\frac{1000}{100}=10\mathrm{ft} \\ \mathrm{So}\mathrm{the}\mathrm{dimension}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{box}=10\mathrm{ft},10\mathrm{ft},10\mathrm{ft}. \\ \mathrm{} \end{gathered}$$