Question

find the equation of circle which touches 2x -y +3 = 0 and passes through the point of intersection of the line x +2y -1 =0 and the circle ^x2 +^y2 -2x + 1 = 0

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{The}\mathrm{required}\mathrm{circle}\mathrm{is}, \\ \mathrm{S}+\mathrm{\lambda P}=0 \\ \mathrm{Putting}\mathrm{the}\mathrm{equation}\mathrm{of}\mathrm{circle}\mathrm{S}\mathrm{and}\mathrm{line}\mathrm{P}\mathrm{we}\mathrm{get}, \\ {\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2-2\mathrm{x}+1+\mathrm{\lambda }\left(\mathrm{x}+2\mathrm{y}-1\right)=0 \\ {\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2-\mathrm{x}\left(2-\mathrm{\lambda }\right)+2\mathrm{\lambda y}+1-\mathrm{\lambda }=0 \\ \mathrm{Now}\mathrm{it}\text{'}\mathrm{s}\mathrm{centre}\mathrm{is},\left(-\mathrm{g},-\mathrm{f}\right)\mathrm{and}\mathrm{it}\mathrm{is}\left(\frac{2-\mathrm{\lambda }}{2},-\mathrm{\lambda }\right) \\ \mathrm{and}\mathrm{it}\text{'}\mathrm{s}\mathrm{radius}\mathrm{is}\mathrm{r}=\sqrt{{\mathrm{g}}^2+{\mathrm{f}}^2-\mathrm{c}}=\sqrt{{\left(\frac{2-\mathrm{\lambda }}{2}\right)}^2+{\mathrm{\lambda }}^2-\left(1-\mathrm{\lambda }\right)} \\ =\frac{\mathrm{\lambda }}{2}\sqrt{5} \\ \mathrm{Now}\mathrm{since}\mathrm{the}\mathrm{circle}\mathrm{touches}\mathrm{the}\mathrm{line}2\mathrm{x}-\mathrm{y}+3=0 \\ \mathrm{therefore}\mathrm{perpendicular}\mathrm{from}\mathrm{center}\mathrm{is}\mathrm{equal}\mathrm{to}\mathrm{radius}, \\ \frac{2\times \left(\frac{2-\mathrm{\lambda }}{2}\right)-\left(-\mathrm{\lambda }\right)+3}{\pm \sqrt{2^2+1^2}}=\frac{\mathrm{\lambda }}{2}\sqrt{5} \\ \mathrm{or}5=\pm \frac{\mathrm{\lambda }}{2}\times 5 \\ \mathrm{or}\mathrm{\lambda }=\pm 2 \\ \mathrm{Putting}\mathrm{the}\mathrm{value}\mathrm{of}\mathrm{\lambda }\mathrm{in}\mathrm{equation}1\mathrm{we}\mathrm{get}\mathrm{the}\mathrm{required}\mathrm{circle}\mathrm{as}, \\ {\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2-4\mathrm{x}-4\mathrm{y}+3=0 \end{gathered}$$