Question

find the equation of the plane passing throgh the intersection of planes 2x+3y-z+1=0; x+y-2z+3=0 and perpendicular to the plane 3x-y-2z-4=0. also find the inclination of this plane with the XYplane.

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{Any}\mathrm{plane}\mathrm{passing}\mathrm{through}\mathrm{the}\mathrm{intersections}\mathrm{of}\mathrm{planes}, \\ 2\mathrm{x}+3\mathrm{y}-\mathrm{z}+1=0\mathrm{and}\mathrm{x}+\mathrm{y}-2\mathrm{z}+3=0\mathrm{can}\mathrm{be}\mathrm{given}\mathrm{as}, \\ 2\mathrm{x}+3\mathrm{y}-\mathrm{z}+1+\mathrm{\lambda }\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}-2\mathrm{z}+3\right)=0 \\ \mathrm{x}\left(2+\mathrm{\lambda }\right)+\mathrm{y}\left(3+\mathrm{\lambda }\right)+\mathrm{z}\left(-1-2\mathrm{\lambda }\right)+1+3\mathrm{\lambda }=0 \\ \mathrm{Now}\mathrm{this}\mathrm{pane}\mathrm{is}\mathrm{perpendicular}\mathrm{to}3\mathrm{x}-\mathrm{y}-2\mathrm{z}-4=0 \\ \mathrm{So} \\ 3\left(2+\mathrm{\lambda }\right)-\left(3+\mathrm{\lambda }\right)-2\left(-1-2\mathrm{\lambda }\right)=0 \\ \mathrm{\lambda }=\frac{-5}{6} \\ \mathrm{Putting}\mathrm{this}\mathrm{value}\mathrm{we}\mathrm{get}, \\ \mathrm{x}\left(2-\frac{5}{6}\right)+\mathrm{y}\left(3-\frac{5}{6}\right)+\mathrm{z}\left(-1-2\times \left(\frac{-5}{6}\right)\right)+1+3\left(\frac{-5}{6}\right)=0 \\ 7\mathrm{x}+13\mathrm{y}+4\mathrm{z}-9=0 \\ \mathrm{and}\mathrm{XY}-\mathrm{plan}\mathrm{equation}\mathrm{is}\mathrm{z}=0 \\ \mathrm{So}\mathrm{angle}, \\ \mathrm{cos\theta }=\left|\frac{0+0+4}{\sqrt{7^2+{13}^2+4^2}\times \sqrt{1^2}}\right|=\frac{4}{\sqrt{231}} \\ \mathrm{\theta }={\cos }^{-1}\left(\frac{4}{\sqrt{231}}\right) \end{gathered}$$