Question

If c is positive and 2ax2 + 3bx + 5c=0 does not have any real roots, then prove that 2a - 3b + 5c0.

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{If}\mathrm{the}\mathrm{equation}2{\mathrm{ax}}^2+3\mathrm{bx}+5\mathrm{c}=0\mathrm{does}\mathrm{not}\mathrm{have}\mathrm{any}\mathrm{real}\mathrm{roots}, \\ \mathrm{then}\mathrm{descreminant}\mathrm{D}>0 \\ \mathrm{or}{\left(3\mathrm{b}\right)}^2-4\times 5\mathrm{c}\times 2\mathrm{a}>0 \\ 3\mathrm{b}>2\sqrt{10\mathrm{ac}}.....\left(1\right) \\ \mathrm{Now}\mathrm{considering}, \\ 2\mathrm{a}-3\mathrm{b}+5\mathrm{c} \\ \mathrm{Putting}\mathrm{value}\mathrm{from}\mathrm{equation}\left(1\right)\mathrm{we}\mathrm{get}, \\ =2\mathrm{a}-2\sqrt{10\mathrm{ac}}+5\mathrm{c} \\ ={\left(\sqrt{2\mathrm{a}}\right)}^2-2\sqrt{10\mathrm{ac}}+{\left(\sqrt{5\mathrm{c}}\right)}^2 \\ ={\left(\sqrt{2\mathrm{a}}-\sqrt{5\mathrm{c}}\right)}^2 \\ >0 \\ \mathrm{It}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{square}\mathrm{quantity}\mathrm{and}\mathrm{it}\mathrm{will}\mathrm{be}\mathrm{always}\mathrm{positive}. \\ \mathrm{So}2\mathrm{a}-3\mathrm{b}+5\mathrm{c}>0 \end{gathered}$$