Question

If f(x) = x³ and g(x) = x² + 1, which of the following is an odd function (are odd functions)?

I.f(x) . g(x)

II.f(g(x))

III.g(f(x))

A. only I
B. only II
C. only III
D. only II and III
E. I, II, and III

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{x}}^3\mathrm{and}\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{x}}^2+1 \\ \mathrm{Consider}\mathrm{f}\left(\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\right) \\ =\mathrm{f}\left({\mathrm{x}}^2+1\right)\left[\mathrm{By}\mathrm{defn}.\mathrm{of}\mathrm{g}\right] \\ ={\left({\mathrm{x}}^2+1\right)}^3\left[\mathrm{By}\mathrm{defn}.\mathrm{of}\mathrm{f}\right] \\ ={\left({\mathrm{x}}^2\right)}^3+1^3+3{\mathrm{x}}^2\times 1\left({\mathrm{x}}^2+1\right) \\ ={\mathrm{x}}^5+1+3{\mathrm{x}}^2\left({\mathrm{x}}^2+1\right) \\ ={\mathrm{x}}^5+1+3{\mathrm{x}}^4+3{\mathrm{x}}^2 \\ \mathrm{Now}\mathrm{consider}\mathrm{f}\left(\mathrm{g}\left(\left(-\mathrm{x}\right)\right)\right)={\left(-\mathrm{x}\right)}^5+1+3{\left(-\mathrm{x}\right)}^4+3{\left(-\mathrm{x}\right)}^2 \\ =-{\mathrm{x}}^5+1+3{\mathrm{x}}^4+3{\mathrm{x}}^2 \\ \mathrm{Which}\mathrm{is}\mathrm{neither}\mathrm{odd}\mathrm{nor}\mathrm{even}\mathrm{function}. \\ \mathrm{Try}\mathrm{other}\mathrm{parts}\mathrm{as}\mathrm{a}\mathrm{part}\mathrm{of}\mathrm{practise}. \\ \mathrm{Note}: \\ \mathrm{If}\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{an}\mathrm{even}\mathrm{function} \\ \mathrm{So},\mathrm{f}\left(-\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right) \\ \mathrm{If}\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{an}\mathrm{odd}\mathrm{function} \\ \mathrm{So},\mathrm{f}\left(-\mathrm{x}\right)=-\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right) \end{gathered}$$