Question

if Sr denotes the sum of first r terms of an A.P.,then find S3r-Sr-1/S2r-S2r-1.

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{In}\mathrm{an}\mathrm{AP}, \\ {\mathrm{S}}_{\mathrm{r}}=\frac{\mathrm{r}}{2}\left[2\mathrm{a}+\left(\mathrm{r}-1\right)\mathrm{d}\right] \\ \mathrm{where}\mathrm{a}=\mathrm{first}\mathrm{term}\mathrm{and}\mathrm{d}=\mathrm{common}\mathrm{difference} \\ \mathrm{So} \\ \frac{{\mathrm{S}}_{3\mathrm{r}}-{\mathrm{S}}_{\mathrm{r}-1}}{{\mathrm{S}}_{2\mathrm{r}}-{\mathrm{S}}_{2\mathrm{r}-1}}=\frac{\frac{3\mathrm{r}}{2}\left[2\mathrm{a}+\left(3\mathrm{r}-1\right)\mathrm{d}\right]-\frac{\mathrm{r}-1}{2}\left[2\mathrm{a}+\left(\mathrm{r}-1-1\right)\mathrm{d}\right]}{\frac{2\mathrm{r}}{2}\left[2\mathrm{a}+\left(2\mathrm{r}-1\right)\mathrm{d}\right]-\frac{2\mathrm{r}-1}{2}\left[2\mathrm{a}+\left(2\mathrm{r}-1-1\right)\mathrm{d}\right]} \\ =\frac{6\mathrm{ar}+9{\mathrm{r}}^2\mathrm{d}-3\mathrm{rd}-\left(\mathrm{r}-1\right)\left(2\mathrm{a}+\mathrm{rd}-2\mathrm{d}\right)}{4\mathrm{ar}+4{\mathrm{r}}^2\mathrm{d}-2\mathrm{rd}-\left(2\mathrm{r}-1\right)\left(2\mathrm{a}+2\mathrm{rd}-2\mathrm{d}\right)} \\ =\frac{6\mathrm{ar}+9{\mathrm{r}}^2\mathrm{d}-3\mathrm{rd}-2\mathrm{ar}-{\mathrm{r}}^2\mathrm{d}+2\mathrm{rd}+2\mathrm{a}+\mathrm{rd}-2\mathrm{d}}{4\mathrm{ar}+4{\mathrm{r}}^2\mathrm{d}-2\mathrm{rd}-4\mathrm{ar}-4{\mathrm{r}}^2\mathrm{d}+4\mathrm{rd}+2\mathrm{a}+2\mathrm{rd}-2\mathrm{d}} \\ =\frac{4\mathrm{ar}+8{\mathrm{r}}^2\mathrm{d}-2\mathrm{rd}+2\mathrm{a}-2\mathrm{d}}{4\mathrm{rd}+2\mathrm{a}-2\mathrm{d}} \\ =\frac{2\mathrm{ar}+4{\mathrm{r}}^2\mathrm{d}-\mathrm{rd}+\mathrm{a}-\mathrm{d}}{2\mathrm{rd}+\mathrm{a}-\mathrm{d}} \end{gathered}$$