Question

If x+iy=(a+ib)/(a-ib), then prove x^2 + y^2 = 1. The book explanation is not clear.

How is x-iy=(a-ib)/(a+ib) found out?

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{x}+\mathrm{iy}=\frac{\mathrm{a}+\mathrm{ib}}{\mathrm{a}-\mathrm{ib}} \\ =\frac{\mathrm{a}+\mathrm{ib}}{\mathrm{a}-\mathrm{ib}}\times \frac{\mathrm{a}+\mathrm{ib}}{\mathrm{a}+\mathrm{ib}} \\ =\frac{{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{i}}^2{\mathrm{b}}^2+\mathrm{i}2\mathrm{ab}}{{\mathrm{a}}^2-{\mathrm{i}}^2{\mathrm{b}}^2}[\mathrm{Since},\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)\left(\mathrm{a}-\mathrm{b}\right)={\mathrm{a}}^2-{\mathrm{b}}^2] \\ =\frac{{\mathrm{a}}^2-{\mathrm{b}}^2+\mathrm{i}2\mathrm{ab}}{{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2}[\mathrm{Since},{\mathrm{i}}^2=-1] \\ =\frac{{\mathrm{a}}^2-{\mathrm{b}}^2}{{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2}+\mathrm{i}\frac{2\mathrm{ab}}{{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2} \\ \Rightarrow \mathrm{x}=\frac{{\mathrm{a}}^2-{\mathrm{b}}^2}{{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2}\mathrm{and}\mathrm{y}=\frac{2\mathrm{ab}}{{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2} \\ \Rightarrow {\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2={\left(\frac{{\mathrm{a}}^2-{\mathrm{b}}^2}{{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2}\right)}^2+{\left(\frac{2\mathrm{ab}}{{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2}\right)}^2 \\ =\frac{{\mathrm{a}}^4+{\mathrm{b}}^4-2{\mathrm{a}}^2{\mathrm{b}}^2+4{\mathrm{a}}^2{\mathrm{b}}^2}{{\left({\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2\right)}^2} \\ =\frac{{\mathrm{a}}^4+{\mathrm{b}}^4+2{\mathrm{a}}^2{\mathrm{b}}^2}{{\left({\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2\right)}^2} \\ =\frac{{\left({\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2\right)}^2}{{\left({\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2\right)}^2}=1 \\ \mathrm{Next},\mathrm{we}\mathrm{know}\mathrm{that}\mathrm{if}\mathrm{z}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{complex}\mathrm{number}\mathrm{then}\mathrm{z}.\overline{\mathrm{z}}=1 \\ \mathrm{Let}\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{iy},\mathrm{then}\overline{\mathrm{z}}=\mathrm{x}-\mathrm{iy} \\ \Rightarrow \left(\mathrm{x}+\mathrm{iy}\right)\left(\mathrm{x}-\mathrm{iy}\right)=1[\mathrm{Since},\mathrm{z}.\overline{\mathrm{z}}=1] \\ \Rightarrow \mathrm{x}-\mathrm{iy}=\frac{1}{\mathrm{x}+\mathrm{iy}} \\ \Rightarrow \mathrm{x}-\mathrm{iy}=\frac{1}{\frac{\mathrm{a}+\mathrm{ib}}{\mathrm{a}-\mathrm{ib}}}[\mathrm{Since},\mathrm{x}+\mathrm{iy}=\frac{\mathrm{a}+\mathrm{ib}}{\mathrm{a}-\mathrm{ib}}\mathrm{given}] \\ \Rightarrow \mathrm{x}-\mathrm{iy}=\frac{\mathrm{a}-\mathrm{ib}}{\mathrm{a}+\mathrm{ib}} \end{gathered}$$