Question

In how many ways can the letters of the word INSURANCE be arranged so that vowels are occupied at even places?

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{INSURANCE}\mathrm{has}\mathrm{I},\mathrm{A},\mathrm{U},\mathrm{E}\mathrm{as}\mathrm{vowels}\mathrm{and}\mathrm{N},\mathrm{S},\mathrm{R},\mathrm{N},\mathrm{C}\mathrm{as}\mathrm{consonants} \\ \mathrm{Now}\mathrm{there}\mathrm{will}\mathrm{be}\mathrm{nine}\mathrm{place}\mathrm{requirement}\mathrm{for}\mathrm{arranging}\mathrm{them}, \\ \mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\hspace{0.17em}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\hspace{0.17em}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_} \\ \mathrm{So}\mathrm{there}\mathrm{are}5\mathrm{odd}\mathrm{places}\mathrm{and}4\mathrm{even}\mathrm{places}. \\ \mathrm{So}\mathrm{at}4\mathrm{even}\mathrm{places}4\mathrm{vowels}\mathrm{can}\mathrm{arrange}\mathrm{them}\mathrm{in}4!\mathrm{ways}. \\ \mathrm{And}\mathrm{for}\mathrm{the}\mathrm{remaining}5\mathrm{odd}\mathrm{places}5\mathrm{consonants}\mathrm{can}\mathrm{arrange}\mathrm{there}\mathrm{in}, \\ =\frac{5!}{2!}\left[\mathrm{as}\mathrm{N}\hspace{0.17em}\mathrm{is}\mathrm{two}\mathrm{times}\right] \\ \mathrm{So}\mathrm{total}\mathrm{number}\mathrm{of}\mathrm{ways}=4!\times \frac{5!}{2!}=1440 \end{gathered}$$