Question

Let a,b,c,d,e be natural numbers in an arithmetic progression such that a+b+c+d+e is the cube of an integer and b+c+d is the square of an integer.What is the least possible value of the number of digits of c?Justify.

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{Given}\mathrm{a},\mathrm{b},\mathrm{c},\mathrm{d},\mathrm{e}\mathrm{are}\mathrm{natural}\mathrm{number}\mathrm{and}\mathrm{in}\mathrm{AP}\mathrm{so} \\ 2\mathrm{c}=\mathrm{a}+\mathrm{e}=\mathrm{b}+\mathrm{d}......\left(1\right) \\ \mathrm{and} \\ \mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}+\mathrm{d}+\mathrm{e}={\mathrm{x}}^3\left(\mathrm{assume}\right) \\ \mathrm{and}\mathrm{b}+\mathrm{c}+\mathrm{d}={\mathrm{y}}^2 \\ \mathrm{such}\mathrm{that}\mathrm{a}+\mathrm{e}={\mathrm{x}}^3-{\mathrm{y}}^2.......\left(2\right) \\ \mathrm{Using}\mathrm{equation}1, \\ \mathrm{c}=\frac{{\mathrm{x}}^3-{\mathrm{y}}^2}{2} \\ \mathrm{Now}\mathrm{the}\mathrm{value}\mathrm{of}{\mathrm{x}}^3,{\mathrm{y}}^2\mathrm{should}\mathrm{be}\mathrm{choosen}\mathrm{such}\mathrm{that}\mathrm{c}\mathrm{is}\mathrm{natural}\mathrm{number} \\ \mathrm{taking}{\mathrm{x}}^3,{\mathrm{y}}^2\mathrm{as}8\mathrm{and}4\mathrm{we}\mathrm{get}, \\ \mathrm{c}=2\mathrm{but}\mathrm{then}\mathrm{a},\mathrm{b}\mathrm{will}\mathrm{not}\mathrm{be}\mathrm{natural} \\ \mathrm{So}\mathrm{taking}{\mathrm{x}}^3\mathrm{as}27\mathrm{and}\mathrm{then}\mathrm{for}{\mathrm{y}}^2\mathrm{we}\mathrm{may}\mathrm{have}1,4,9,16,25 \\ \mathrm{But}{\mathrm{y}}^2\mathrm{cannot}\mathrm{be}1,4,16,25\mathrm{for}\mathrm{the}\mathrm{same}\mathrm{reason}\mathrm{mentioned}\mathrm{above}, \\ \mathrm{So}{\mathrm{y}}^2=9 \\ \mathrm{Hence}\mathrm{c}=\frac{27-9}{2}=9 \\ \mathrm{So}\mathrm{c}\mathrm{is}\mathrm{single}\mathrm{digit}\mathrm{number}. \end{gathered}$$