Question

what is the integration of tan x ?

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{Let}\mathrm{I}=\int \tan \mathrm{x}\mathrm{dx} \\ =\int \frac{\mathrm{sinx}}{\mathrm{cosx}}\mathrm{dx} \\ \mathrm{put}\cos \mathrm{x}=\mathrm{t} \\ \Rightarrow -\mathrm{sinx}\mathrm{dx}=\mathrm{dt} \\ \Rightarrow \mathrm{sinx}\mathrm{dx}=-\mathrm{dt} \\ \mathrm{so},\mathrm{I}=-\int \frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{t}}=-\log \left|\mathrm{t}\right|+\mathrm{C}=-\log \left|\cos \mathrm{x}\right|+\mathrm{C} \end{gathered}$$