Question

Points E and F lie on diagonal AC of a parallelogram ABCD such that AE = CF. What type of quadrilateral is BFDE?

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{In}\mathrm{the}{\mathrm{II}}^{\mathrm{gm}}\mathrm{ABCD}: \\ \mathrm{AO}=\mathrm{OC}......\left(\mathrm{i}\right)(\mathrm{diagonals}\mathrm{of}\mathrm{a}\mathrm{parallelogram}\mathrm{bisect}\mathrm{each}\mathrm{other}) \\ \mathrm{AE}=\mathrm{CF}.......\left(\mathrm{ii}\right)\left(\mathrm{given}\right) \\ \mathrm{Subtracting}\left(\mathrm{ii}\right)\mathrm{from}\left(\mathrm{i}\right): \\ \mathrm{AO}-\mathrm{AE}=\mathrm{OC}-\mathrm{CF} \\ \mathrm{EO}=\mathrm{OF}.........\left(\mathrm{iii}\right) \\ \mathrm{In}∆\mathrm{DOE}\mathrm{and}∆\mathrm{BOF}: \\ \mathrm{EO}=\mathrm{OF}(\mathrm{proved}\mathrm{above}) \\ \mathrm{DO}=\mathrm{OB}(\mathrm{diagonals}\mathrm{of}\mathrm{a}\mathrm{parallelogram}\mathrm{bisect}\mathrm{each}\mathrm{other}) \\ \angle \mathrm{DOE}=\angle \mathrm{BOF}(\mathrm{vertically}\mathrm{opposite}\mathrm{angles}) \\ \mathrm{By}\mathrm{SAS}\mathrm{congruence}: \\ ∆\mathrm{DOE}\cong ∆\mathrm{BOF} \\ \therefore \mathrm{DE}=\mathrm{BF}(\mathrm{c}.\mathrm{p}.\mathrm{c}.\mathrm{t}) \\ \mathrm{In}∆\mathrm{BOE}\mathrm{and}∆\mathrm{DOF}: \\ \mathrm{EO}=\mathrm{OF}(\mathrm{proved}\mathrm{above}) \\ \mathrm{DO}=\mathrm{OB}(\mathrm{diagonals}\mathrm{of}\mathrm{a}\mathrm{parallelogram}\mathrm{bisect}\mathrm{each}\mathrm{other}) \\ \angle \mathrm{DOF}=\angle \mathrm{BOE}(\mathrm{vertically}\mathrm{opposite}\mathrm{angles}) \\ \mathrm{By}\mathrm{SAS}\mathrm{congruence}: \\ ∆\mathrm{DOE}\cong ∆\mathrm{BOF} \\ \therefore \mathrm{DF}=\mathrm{BE}(\mathrm{c}.\mathrm{p}.\mathrm{c}.\mathrm{t}) \\ \mathrm{Hence},\mathrm{the}\mathrm{pair}\mathrm{of}\mathrm{opposite}\mathrm{sides}\mathrm{are}\mathrm{equal}.\mathrm{Thus},\mathrm{DEBF}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{parallelogram}. \end{gathered}$$