Question

Prove ${\cos }^2\theta +{\cos }^2(\theta +120)+{\cos }^2(\theta -120)=\frac{3}{2}$

Answer 1

${\cos }^2\theta +{\cos }^2(\theta +120)+{\cos }^2(\theta -120)$

$=\frac{1+\cos 2\theta }{2}+\frac{1+\cos (2\theta +240)}{2}+\frac{1+\cos (2\theta -240)}{2}$

$=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}[\cos 2\theta +\cos (2\theta +240)+\cos (2\theta -240\left)\right]$

$=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}[\cos 2\theta +2\cos 2\theta \cos 240]$

$=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}[\cos 2\theta +2\cos 2\theta \cos (180+60\left)\right]$

$=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}[\cos 2\theta -2\cos 2\theta \cos 60]$

$=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}[\cos 2\theta -\cos 2\theta ]$

$=\frac{3}{2}+0$

$=\frac{3}{2}$