Question

Prove that 2$ta{n}^{-1}\frac{1}{2}-ta{n}^{-1}\frac{1}{7}=\frac{\pi }{4}$
Prove that 3$si{n}^{-1}x=si{n}^{-1}(3x-4x^3),xϵ[\frac{-1}{2},\frac{1}{2}]$

Answer 1

$1)2ta{n}^{-1}\frac{1}{2}-ta{n}^{-1}\frac{1}{7}=\frac{\pi }{4}$

LHS :

$2ta{n}^{-1}\frac{1}{2}-ta{n}^{-1}\frac{1}{7}$

$=ta{n}^{-1}\frac{4}{3}-ta{n}^{-1}\frac{1}{7}$ $[2ta{n}^{-1}x=ta{n}^{-1}\frac{2x}{1-x^2}]$

$=ta{n}^{-1}\frac{25}{25}$ $[ta{n}^{-1}x-ta{n}^{-1}y=ta{n}^{-1}\frac{x-y}{1+xy}]$

$=ta{n}^{-1}1$

$=\frac{\pi }{4}$ = RHS

$2)3si{n}^{-1}x=si{n}^{-1}(3x-4x^3)$

RHS :

$si{n}^{-1}(3x-4x^3)$

Let $x=sin\theta$

$=si{n}^{-1}(3sin\theta -4si{n}^3\theta )$

$=si{n}^{-1}sin3\theta$

$=3\theta$

$=3si{n}^{-1}x$ = LHS