Question

Prove that :

$\left|\begin{array}{ccc}a+b& b+c& c+a\\ b+c& c+a& a+b\\ c+a& a+b& b+c\end{array}\right|=2\left|\begin{array}{ccc}a& b& c\\ b& c& a\\ c& a& b\end{array}\right|$

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{Let}\mathrm{\Delta }=\left|a+bb+cc+a \\ b+cc+aa+b \\ c+aa+bb+c\right| \\ \mathrm{Using}\mathrm{the}\mathrm{property}\mathrm{of}\mathrm{determinants}\mathrm{that}\mathrm{if}\mathrm{each}\mathrm{element}\mathrm{of}\mathrm{a}\mathrm{row}\mathrm{or}\mathrm{column}\mathrm{is}\mathrm{expressed}\mathrm{as}\mathrm{the}\mathrm{sum}\mathrm{of}\mathrm{two}\mathrm{or}\mathrm{more}\mathrm{quantities},\mathrm{the}\mathrm{determinant}\mathrm{is}\mathrm{expressed}\mathrm{as}\mathrm{the}\mathrm{sum}\mathrm{of}\mathrm{two}\mathrm{or}\mathrm{more}\mathrm{determinants},\mathrm{we}\mathrm{get} \\ \mathrm{\Delta }=\left|abc \\ bca \\ cab\right|+\left|bca \\ cab \\ abc\right| \\ =\left|abc \\ bca \\ cab\right|+\left(-1\right)\left|acb \\ bac \\ cba\right|\left[\mathrm{Applying}{\mathrm{C}}_1\leftrightarrow {\mathrm{C}}_3\mathrm{in}\mathrm{second}\mathrm{determinant}\mathrm{to}\mathrm{get}\mathrm{negative}\mathrm{value}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{deteminant}\right] \\ =\left|\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{c} \\ \mathrm{b}\mathrm{c}\mathrm{a} \\ \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{b}\right|+\left(-1\right)\left(-1\right)\left|abc \\ bca \\ cab\right|\left[\mathrm{Applying}{\mathrm{C}}_2\leftrightarrow {\mathrm{C}}_3\right] \\ =2\left|abc \\ bca \\ cab\right|=\mathrm{RHS} \end{gathered}$$