Prove that $∣ ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} y z - x^{2} & z x - y^{2} & x y - z^{2} z x - y^{2} & x y - z^{2} & y z - x^{2} x y - z^{2} & y z - x^{2} & z x - y^{2} \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣$ is divisible by $(x + y + z)$ , and hence find the quotient
OR
Using elementary transformations, find the inverse of the matrix $A = ⎛ ⎜ ⎝ \begin{matrix} 8 & 4 & 3 2 & 1 & 1 1 & 2 & 2 \end{matrix} ⎞ ⎟ ⎠$ and use it to solve the following system of linear equations:
$8 x + 4 y + 3 z = 19$
$2 x + y + z = 5$
$x + 2 y + 2 z = 7$

Open in App

Solution

$A = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 8 & 4 & 3 2 & 1 & 1 1 & 2 & 2 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦$
$A A^{- 1} = I$
$⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 8 & 4 & 3 2 & 1 & 1 1 & 2 & 2 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ A^{- 1} = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦$

$R_{1} \to R_{1} - 4 R_{2}$
$⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 0 & 0 & - 1 2 & 1 & 1 1 & 2 & 2 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ A^{- 1} = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 4 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦$

$R_{1} \to R_{1} \times - 1$
$⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 0 & 0 & 1 2 & 1 & 1 1 & 2 & 2 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ A^{- 1} = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 & 4 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦$

$C_{1} ⟺ C_{3}$
$⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 1 & 1 & 2 2 & 2 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ A^{- 1} = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 0 & 4 & - 1 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦$

$R_{2} \to R_{2} - R_{1}$
$⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 2 2 & 2 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ A^{- 1} = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 0 & 4 & - 1 0 & - 3 & 1 1 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦$

$R_{3} \to R_{3} - 2 R_{1}$
$⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 2 0 & 2 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ A^{- 1} = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 0 & 4 & - 1 0 & - 3 & 1 1 & - 8 & 2 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦$

$C_{3} \to C_{3} - 2 C_{2}$
$⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 2 & - 3 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ A^{- 1} = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 0 & 4 & - 9 0 & - 3 & 7 1 & - 8 & 18 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦$

$R_{3} \to R_{3} - 2 R_{2}$
$⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & - 3 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ A^{- 1} = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 0 & 4 & - 9 0 & - 3 & 7 1 & - 2 & 4 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦$

$R_{3} \to R_{3} \times \frac{- 1}{3}$
$⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ A^{- 1} = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 0 & 4 & - 9 0 & - 3 & 7 \frac{- 1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{- 4}{3} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦$

$A^{- 1} = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 0 & 4 & - 9 0 & - 3 & 7 \frac{- 1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{- 4}{3} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦$

$⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} x y z \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 0 & 4 & - 9 0 & - 3 & 7 \frac{- 1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{- 4}{3} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1957 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦$

$⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} x y z \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 20 - 63 - 15 + 49 \frac{- 19 + 10 - 28}{3} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦$

$⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} x y z \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 43 34 \frac{- 37}{3} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦$

Suggest Corrections

Similar questions

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} {y z - x}^{2} & {z x - y}^{2} & x y - z^{2} {z x - y}^{2} & x y - z^{2} & {y z - x}^{2} {x y - z}^{2} & {y z - x}^{2} & {z x - y}^{2} \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

(x + y + z)

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} y z - x^{2} & z x - y^{2} & x y - z^{2} z x - y^{2} & x y - z^{2} & y z {- x}^{2} x y - z^{2} & y z - x^{2} & z x - y^{2} \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

(x + y + z)

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} y z - x^{2} & z x - y^{2} & x y - z^{2} z x - y^{2} & x y - z^{2} & y z - x^{2} x y - z^{2} & y z - x^{2} & z x - y^{2} \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

(x + y + z)

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} y z - x^{2} & z x - y^{2} & x y - z^{2} x z - y^{2} & x y - z^{2} & y z - x^{2} x y - z^{2} & y z - x^{2} & z x - y^{2} \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} r^{2} & u^{2} & u^{2} u^{2} & r^{2} & u^{2} u^{2} & u^{2} & r^{2} \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 - 1 & 0 & 2 2 & 1 & - 3 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

x + 2 y + z = 4, - x + 2 z = 0, 2 x + y - 3 z = 0

Join BYJU'S Learning Program