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Question

Prove that:
(i) cos 10° cos 30° cos 50° cos 70° = 316

(ii) cos 40° cos 80° cos 160° = -18

(iii) sin 20° sin 40° sin 80° = 38

(iv) cos 20° cos 40° cos 80° = 18

(v) tan 20° tan 40° tan 60° tan 80° = 3

(vi) tan 20° tan 30° tan 40° tan 80° = 1

(vii) sin 10° sin 50° sin 60° sin 70° = 316

(viii) sin 20° sin 40° sin 60° sin 80° = 316

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Solution

(i)

LHS = cos 10° cos 30° cos 50° cos 70°= 12 2cos 10° cos 50° cos 30° cos 70°= 12 cos 10° + 50° + cos 10° - 50° cos 30° cos 70° 2cos A cos B = cosA + B - cos A - B= 12 cos 60° + cos -40° cos 30° cos 70°= 12 12 + cos 40°32×cos 70°

= 34cos 70°12 + cos 40°= 38cos 70° + 34cos 70° cos 40°= 38cos 70° + 382cos 70° cos 40°= 38cos 70° + 38cos 70° + 40° + cos 70° - 40°= 38cos 70° + 38cos 110°+cos 30°= 38cos 70° + 38cos 180° - 70° + 32= 32cos 70° - 38cos 70° + 316 cos 180° - 70° = -cos 70°= 316 = RHS



(ii)
LHS = cos 40° cos 80° cos 160°= 122cos 40° cos 80° cos 160°= 12cos 40° + 80° + cos 40° - 80° cos 160°= 12cos 120° + cos -40° cos 160°= 12cos 160°-12 + cos 40°= -14cos 160° + 12cos 160° cos 40°
= -14cos 160° + 142cos 160° cos 40°= -14cos 160° +14cos 160° + 40° + cos 160° - 40°= -14cos 160° + 14cos 200° + cos 120°= -14cos 160° + 14cos 360°-160° -12= -14cos 160° + 14cos 160° - 18 cos 360° - 160° = cos 160°= -18 = RHS



(iii)
LHS = sin 20° sin 40° sin 80°=122sin 20° sin 40°sin 80°=12cos 20° - 40° - cos 20° + 40° sin 80°=12cos 20° - 12 sin 80°=12sin 80°cos 20° - 12=12sin 80° cos 20° - 14sin 80°=12sin 90° - 10° cos 20° - 14sin 80°=12cos 10° cos 20° - 14sin 80°

= 142cos 10° cos 20° - 14sin 80°=14cos 10° + 20° + cos 10° - 20° - 14sin 80°=14cos 30° + cos -10° - 14sin 80°=14cos 30° + cos 90°-80° -14sin 80°=38+14sin 80° - 14sin 80° cos 90° - 80° = sin 80°=38 = RHS



(iv)

LHS = cos 20° cos 40° cos 80°=122cos 20° cos 40° cos 80°=12cos 20° + 40° + cos20° - 40° cos 80°=12cos 60° + cos -20° cos 80°=12cos 80°12 + cos 20°=14cos 80° + 12cos 80° cos 20°

= 14cos 80° + 142cos 80° cos 20°= 14cos 80° + 14cos 80° + 20° + cos 80° - 20°= 14cos 80° + 14cos 100° + cos 60°= 14cos 80° + 14cos 180° - 80° + 12= 14cos 80° - 14cos 80° + 18 cos 180° - 80° = -cos 80°= 18 = RHS



(v)
LHS = tan 20° tan 40° tan 60° tan 80°
=tan 60°sin 20° sin 40° sin 80°cos 20° cos 40° cos 80°=3 × 122sin 20° sin 40°sin 80°122cos 20° cos 40°cos 80°=3×12cos 20° - 40° - cos 20° + 40° sin 80°12cos 20° + 40° + cos20° - 40° cos 80°=3×12cos -20° - cos 60° sin 80°12cos 60° + cos-20° cos 80°=3×12sin 80°cos 20° - 1212cos 80°12 + cos 20°=3×12sin 80° cos 20° - 14sin 80°14cos 80° + 12cos 80° cos20°=3×12sin 90° - 10° cos 20° - 14sin 80°14cos 80° + 12cos 80° cos 20°=3×12cos 10° cos 20° - 14sin 80°14cos 80° + 12cos 80° cos 20°


= 3×142cos 10° cos 20° - 14sin 80°14cos 80° + 142cos 80° cos 20°= 3×14cos 10° + 20° + cos 10°-20°-14sin 80°14cos 80° + 14cos 80° + 20° + cos 80° - 20°= 3×14cos 30° + cos -10° - 14sin 80°14cos 80° + 14cos 100° + cos 60°= 3×14cos 30° + cos 90° - 80° - 14sin 80°14cos 80° + 14cos 180° - 80° + 12= 3×38 + 14sin 80° - 14sin 80° 14cos 80° - 14cos 80° + 18 cos 90° - 80° = sin 80°, and cos180°-80°=-cos80°= 3×3818= 3 = RHS


(vi)
LHS = tan 20° tan 30° tan 60° tan 80°
=tan 30°sin 20° sin 40° sin 80°cos 20° cos 40° cos 80°=13×122sin 20° sin 40°sin 80°122cos 20° cos 40°cos 80°=13×12cos 20° - 40° - cos 20° + 40°sin 80°12cos 20° + 40° + cos 20° - 40°cos 80°=13×12cos 20° - 12sin 80°12cos 60° + cos -20°cos 80°=13×12sin 80°cos 20°- 1212cos 80°12 + cos 20°=13×12sin 80° cos 20° - 14sin 80°14cos 80° + 12cos 80° cos 20°=13×12sin 90° - 10° cos 20° - 14sin 80°14cos 80° + 12cos 80° cos 20°=13×12cos 10° cos 20° - 14sin 80°14cos 80° + 12cos 80° cos 20°

=3×142cos 10° cos 20° - 14sin 80°14cos 80° + 142cos 80° cos 20°=3×14cos 10° + 20° + cos 10° - 20° - 14sin 80°14cos 80° + 14cos 80° + 20° +cos 80° - 20°=3×14cos 30° + cos -10° -14sin 80°14cos 80°+14cos 100° + cos 60°=3×14cos 30° + cos 90° -80° - 14sin 80°14cos 80° + 14cos 180° - 80° + 12=3×38 + 14sin 80° - 14sin 80° 14cos 80° -14cos80°+18 cos 90° - 80° = sin 80°, cos 180° - 80° =-cos 80°=3×3818= 3 = RHS

(vii)

LHS = sin 10° sin 50° sin 60° sin 70°=12sin 60° 2sin 10° sin 50°sin 70°=12×32cos 10° - 50° - cos 10° + 50°sin 70°=34cos -40° - 12sin 70°=34sin 70°cos 40° - 12=34sin 70° cos 40° - 38sin 70°=34sin 90° - 20° cos 40° - 38sin 70°=34cos 20° cos 40° - 38sin 70°

=382cos 20° cos 40° - 38sin 70°=38cos 20° +40° + cos 20° - 40° - 38sin 70°=38cos 60° + cos -20° -38sin 70°=38cos 60° + cos 90° - 70° - 38sin 70°=316+38sin 70° - 38sin 70° cos 90° - 70° = sin 70°=316=RHS


(viii)

LHS = sin 20° sin 40°sin 60° sin 80°=12sin 60° 2sin 20° sin 40°sin 80°=12×32cos 20° - 40° - cos 20° + 40°sin 80°=34cos 20° - 12sin 80°=34sin 80°cos 20° - 12=34sin 80° cos 20° - 38sin 80°=34sin 90°-10°cos 20°-38sin 80°=34cos 10° cos 20° - 38sin80°
=382cos 10° cos 20° - 38sin 80°=38cos 10° + 20° + cos 10° - 20° -38sin 80°=38cos 30° + cos -10° - 38sin 80°=38cos 30° + cos 90°-80°-38sin 80°=316+38sin 80° -38sin 80° cos 90° - 80° = sin 80°=316 = RHS

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