Question

Prove that:

$co{s}^{3}2\theta +3cos2\theta =4(co{s}^6\theta -si{n}^6\theta )$

Answer 1

$co{s}^{3}2\theta +3cos2\theta =4(co{s}^6\theta -si{n}^6\theta )$

$\text{RHS}=4\left[\right(co{s}^2\theta {)}^3-\left(si{n}^2\theta {)}^3\right]=4(co{s}^2\theta -si{n}^2\theta )[co{s}^4\theta +si{n}^4\theta +si{n}^2\theta co{s}^2\theta ]=4co{s}^2\theta \left[\right(co{s}^2\theta -si{n}^2\theta {)}^2+2si{n}^2\theta co{s}^2\theta +si{n}^2\theta co{s}^2\theta ]=4co{s}^2\theta [(co{s}^2\theta -si{n}^2\theta {)}^2+2si{n}^2\theta co{s}^2\theta +si{n}^2\theta co{s}^2\theta ]=4co{s}^2\theta [co{s}^{2}2\theta +3si{n}^2\theta co{s}^2\theta ]=4co{s}^2\theta [co{s}^{2}2\theta +3\left(\frac{1-co{s}^2\theta }{2}\right)\left(\frac{1+co{s}^2\theta }{2}\right)]=4co{s}^2\theta [co{s}^{2}2\theta +\frac{3}{4}(1-co{s}^2\theta \left)\right]=co{s}^2\theta [4co{s}^{2}2\theta +3-3co{s}^{2}2\theta ]=co{s}^2\theta [co{s}^{2}2\theta +3]=co{s}^{3}2\theta +3co{s}^2\theta$

= LHS

LHS = RHS