Question

prove that cuberoot of 6 is an irrational number

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{To}\mathrm{prove}\sqrt[3]{6}\mathrm{is}\mathrm{an}\mathrm{irrational}\mathrm{number}. \\ \mathrm{Let}\mathrm{us}\mathrm{assume}\mathrm{to}\mathrm{the}\mathrm{contrary}\mathrm{that}\sqrt[3]{6}\mathrm{is}\mathrm{an}\mathrm{rational}\mathrm{number}. \\ \mathrm{so}, \\ \mathrm{let}\sqrt[3]{6}=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}},\mathrm{where}\mathrm{a}\mathrm{and}\mathrm{b}\mathrm{are}\mathrm{coprime}\mathrm{numbers}. \\ \mathrm{so}, \\ \mathrm{b}\sqrt[3]{6}=\mathrm{a} \\ \mathrm{cubing}\mathrm{on}\mathrm{both}\mathrm{sides},\mathrm{we}\mathrm{get} \\ 6{\mathrm{b}}^3={\mathrm{a}}^3 \\ \mathrm{therefore},{\mathrm{a}}^3\mathrm{is}\mathrm{divisible}\mathrm{by}6\mathrm{and}\mathrm{then}\mathrm{a}\mathrm{is}\mathrm{also}\mathrm{divisible}\mathrm{by}6. \\ \mathrm{so},\mathrm{we}\mathrm{can}\mathrm{write}\mathrm{a}=6\mathrm{c}. \\ \mathrm{substituting}\mathrm{a},\mathrm{we}\mathrm{get} \\ 6{\mathrm{b}}^3=216{\mathrm{c}}^3 \\ {\mathrm{b}}^3=36{\mathrm{c}}^3 \\ \mathrm{so},\mathrm{b}\mathrm{is}\mathrm{divisible}\mathrm{by}36=6\times 6,\mathrm{so}\mathrm{it}\mathrm{is}\mathrm{also}\mathrm{divisible}\mathrm{by}6. \\ \mathrm{therefore}\mathrm{a}\mathrm{and}\mathrm{b}\mathrm{have}\mathrm{atleast}\mathrm{one}\mathrm{common}\mathrm{factor}6, \\ \mathrm{but}\mathrm{this}\mathrm{contradict}\mathrm{the}\mathrm{fact}\mathrm{that}\mathrm{a}\mathrm{and}\mathrm{b}\mathrm{are}\mathrm{coprime}. \\ \mathrm{This}\mathrm{contradiction}\mathrm{has}\mathrm{arisen}\mathrm{because}\mathrm{of}\mathrm{our}\mathrm{assumption}\mathrm{that}\sqrt[3]{6}\mathrm{is}\mathrm{an}\mathrm{rational}\mathrm{number}. \\ \mathrm{so},\sqrt[3]{6}\mathrm{is}\mathrm{an}\mathrm{irrational}\mathrm{number} \end{gathered}$$